"Математика", Чекин А.Л.
Умножение на двузначное число можно выполнить как два более простых умножения: сначала умножить на единицы, затем на десятки. Для этого двузначный множитель раскладывают на разрядные слагаемые, а полученные неполные произведения складывают. При записи столбиком второй результат сдвигают на один разряд влево, потому что цифра десятков обозначает десятки. Оценка и проверка делением помогают заметить ошибку.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двузначное число — число, записанное двумя цифрами. Его можно представить как сумму числа десятков и числа единиц: например, 34 = 30 + 4. Такое представление помогает увидеть, из каких разрядов состоит множитель. Благодаря этому умножение на него можно заменить несколькими более простыми действиями.
Разрядное слагаемое — слагаемое, соответствующее одному разряду числа. Например, в записи 56 = 50 + 6 числа 50 и 6 — разрядные слагаемые: первое показывает пять десятков, второе — шесть единиц. Разложение на такие слагаемые нужно, чтобы умножать на десятки и единицы отдельно. Оно также помогает не перепутать значение цифры с её местом в записи.
Неполное произведение — результат умножения другого множителя на одно из разрядных слагаемых двузначного числа. Например, при вычислении 24 × 13 числа 24 × 10 и 24 × 3 — неполные произведения. Каждое из них показывает часть общего результата. Их складывают, чтобы получить полное произведение.
Умножение на двузначное число — умножение, которое выполняют по разрядам двузначного множителя, а затем складывают полученные неполные произведения. Например, 18 × 23 можно заменить вычислением 18 × 20 + 18 × 3. Такой способ основан на распределительном свойстве умножения относительно сложения. Он позволяет выполнять действие привычными приёмами умножения на однозначное число.
Двузначный множитель раскладывают на десятки и единицы, потому что его значение складывается из этих частей. Например, 13 — это 10 + 3, поэтому умножение 24 × 13 можно заменить вычислениями 24 × 10 и 24 × 3. Каждое из них проще, чем сразу умножать на 13. После этого остаётся соединить части результата сложением.
Причина такого способа — распределительное свойство умножения относительно сложения: a × (b + c) = a × b + a × c. Оно означает, что множитель можно умножить отдельно на каждое слагаемое, а затем сложить результаты. Например, 24 × (10 + 3) = 24 × 10 + 24 × 3. Равенство сохраняет значение исходного выражения, поэтому результат не меняется. При этом удобно считать сначала с круглыми десятками, а затем с единицами.
В столбик сначала умножают первый множитель на цифру единиц второго множителя. Затем его умножают на цифру десятков, записывая полученный результат ниже первой строки. Так получают два неполных произведения, которые можно сложить столбиком. Такой порядок удобен, потому что соответствует разложению двузначного числа на части. При умножении каждой цифры не забывают переносить десятки в следующий разряд.
Цифра десятков не равна числу единиц: в числе 27 цифра 2 означает 20. Поэтому результат умножения на эту цифру фактически относится к десяткам и в записи сдвигается на один разряд влево. Например, при вычислении 36 × 27 второе неполное произведение — 36 × 20 = 720, а не 36 × 2 = 72 в разряде единиц. Сдвиг показывает, что результат умножения на 2 нужно увеличить в десять раз. Если записывать второй ряд без сдвига, разряды произведения окажутся неверными.
После двух умножений неполные произведения складывают, выравнивая их по разрядам. Если сумма цифр в разряде больше 9, десяток переносят в следующий разряд и обязательно прибавляют. Затем результат полезно оценить: округлить множители и прикинуть порядок произведения. Например, для 36 × 27 оценка 40 × 30 = 1200 показывает, что точный ответ должен быть близок к тысяче, но меньше неё. Проверка делением может помочь обнаружить ошибку в вычислениях.
Таблица помогает выполнять вычисление в одном и том же порядке и не терять разрядные значения. Перед началом посмотри, на какие части раскладывается двузначный множитель. После вычислений проверь переносы и прикинь, похож ли результат на ожидаемый.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Разложить двузначный множитель на десятки и единицы | Записать его как сумму разрядных слагаемых | Цифра десятков обозначает число десятков, а не единиц |
| Умножить на число единиц | Вычислить первое неполное произведение | Учесть перенос десятков при умножении |
| Умножить на число десятков | Вычислить второе неполное произведение | Записать его со сдвигом на один разряд влево |
| Сложить неполные произведения | Выполнить сложение столбиком | Совместить цифры одного разряда и учесть перенос |
| Оценить и проверить результат | Прикинуть порядок ответа, при необходимости проверить делением | Оценка должна быть близка к точному ответу |
Здесь двузначный множитель уже предлагают разложить, поэтому используем 13 = 10 + 3. По распределительному свойству отдельно умножаем 24 на каждую часть. Так получаем два неполных произведения, которые нужно сложить. Сначала вычислим произведение с круглым десятком, а затем — с единицами.
Неполные произведения 240 и 72 относятся к разным частям множителя, но вместе дают исходное произведение. Можно оценить ответ: 24 × 13 немного больше, чем 24 × 10 = 240, поэтому 312 выглядит правдоподобно. Ответ: 312.
Умножаем сначала на 7 единиц, а затем на 2 десятка, то есть фактически на 20. Во втором действии результат нужно сдвинуть на разряд влево, иначе он будет означать единицы, а не десятки. После этого сложим строки и проверим, не забыли ли переносы. Разложение 27 = 20 + 7 подсказывает смысл каждой строки.
Проверим оценкой: 36 × 27 близко к 40 × 30 = 1200, но оба множителя округлили вверх, поэтому точный результат может быть заметно меньше. Число 972 подходит по порядку величины. Ответ: 972.
В каждой коробке одинаковое количество карандашей, поэтому нужно взять 28 карандашей 34 раза. Это описывается умножением 28 × 34. Разложим 34 на 30 и 4, выполним два умножения и сложим их. Затем проверим, подходит ли ответ к примерной оценке.
Для оценки округлим 28 примерно до 30, а 34 — до 30. Получается 30 × 30 = 900, поэтому ответ 952 правдоподобен. Вопрос задачи просит количество карандашей, значит, указываем единицу счёта. Ответ: 952 карандаша.
При умножении на цифру десятков иногда записывают результат так, будто это единицы. Например, для 36 × 27 число 36 × 2 ошибочно принимают за второе неполное произведение вместо 36 × 20. Так случается, если забыть, что цифра 2 в числе 27 означает 20. Проверь себя: разложи множитель на 20 и 7 и убедись, что второй результат в десять раз больше 36 × 2.
Бывает, что ученик находит оба неполных произведения, но не складывает их или складывает только последние цифры. Тогда ответ содержит лишь часть результата, хотя умножение выполнено по частям. Ошибку легко допустить, если торопиться и считать задачу законченной после двух умножений. Проверь, что в конце есть отдельное сложение целых неполных произведений, например 252 + 720, а не только 2 + 0.
Если забыть сдвиг второго неполного произведения, его цифры попадут не в те разряды. Иногда ученик пропускает ноль в разряде единиц и записывает число без нужного сдвига, потому что не связывает запись с умножением на десятки. Ноль не обязательно писать в начале числа, но разрядное положение второй строки должно быть показано. Проверь, выровнены ли цифры результата относительно разрядов: десятки второго неполного произведения стоят под сотнями первого.
Перенос десятков легко потерять и при умножении, и при сложении. Например, если 7 × 6 = 42, цифру 4 нужно перенести к следующему разряду и прибавить там; похожий перенос возникает при сложении строк. Ошибка появляется, когда перенос не записывают или забывают учесть в следующем действии. Проверяй каждый разряд отдельно, а в конце сравни результат с примерной оценкой или проверь его обратным действием.
Чтобы умножать на двузначное число, нужно знать таблицу умножения и уметь письменно умножать на однозначное число. Также пригодится сложение столбиком, ведь именно так объединяют неполные произведения. Если эти действия пока вызывают затруднение, полезно повторить их отдельно: ошибки в них переходят и в более длинное вычисление.
Умение умножать на двузначное число нужно при вычислениях с многозначными числами и при решении текстовых задач. Например, так находят общее количество предметов в нескольких одинаковых группах. Понимание разрядов помогает выполнять и более сложные письменные вычисления. В задачах сначала определяют, какое действие связывает известные данные с искомым числом.
Почему двузначный множитель нужно раскладывать на десятки и единицы?
Так двузначное число представляют как сумму двух более простых чисел: десятков и единиц. По распределительному свойству множитель умножают на каждое слагаемое отдельно, а результаты складывают.
Почему второе неполное произведение записывают со сдвигом?
Во втором действии умножают на цифру десятков, а не на число единиц. Поэтому результат означает десятки и при записи в столбик сдвигается на один разряд влево.
Нужно ли писать ноль в начале второго неполного произведения?
Ноль в начале числа обычно не записывают. Сдвиг второго неполного произведения влево уже показывает, что его единиц нет; в записи с разрядом единиц иногда ставят ноль как напоминание.
В каком порядке складывают неполные произведения?
Их складывают столбиком, выравнивая цифры по разрядам: единицы под единицами, десятки под десятками. Перенос при сложении не забывают записать и прибавить к следующему разряду.
Как быстро проверить, что ответ получился правдоподобным?
Округли множители до удобных чисел и прикинь произведение. Например, 28 × 34 примерно равно 30 × 30, то есть 900, поэтому точный ответ должен быть близок к этому числу. Дополнительно результат можно проверить делением.
Умножение на двузначное число
