"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Умножение на двузначное число удобно выполнять по разрядам: представить множитель как сумму десятков и единиц, умножить на каждую часть, а затем сложить результаты. Такие промежуточные результаты называют неполными произведениями. Этот способ основан на распределительном свойстве умножения и помогает не только правильно считать в столбик, но и понимать, откуда берётся каждый шаг. Проверить ответ можно оценкой или перестановкой множителей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двузначное число — число, в записи которого две цифры: цифра десятков и цифра единиц. Например, в числе 34 цифра 3 показывает три десятка, а цифра 4 — четыре единицы. Это различие помогает понять, на какие части нужно разложить множитель перед вычислением.
Разрядный состав двузначного числа — представление его в виде суммы десятков и единиц, например 34 = 30 + 4. Здесь число не меняется, а записывается как сумма значений его цифр. Такая запись нужна, чтобы применить удобный способ умножения по частям.
Неполное произведение — результат умножения первого множителя на один из разрядов второго множителя. Например, при вычислении 23 · 14 числа 92 и 230 — неполные произведения: первое получено умножением на 4, второе — на 10. Их складывают, чтобы получить всё произведение.
Письменный алгоритм умножения на двузначное число — запись умножения с нахождением неполных произведений и их сложением. В столбик отдельно показывают результаты умножения на единицы и десятки второго множителя. Алгоритм помогает сохранить правильные разряды и не потерять перенос при вычислениях.
Двузначный множитель удобно представить суммой десятков и единиц, потому что умножать по частям обычно проще, чем сразу выполнять действие со всем числом. Например, 34 — это 30 + 4, значит, для умножения на 34 можно отдельно умножить на 30 и на 4. Затем два результата складывают, ведь вместе части снова составляют исходное число 34.
Такой переход объясняет распределительное свойство умножения: a · (30 + 4) = a · 30 + a · 4. Оно говорит, что при умножении суммы на число можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты. Поэтому запись a · 34 как a · 30 + a · 4 не меняет значение произведения, а лишь делает вычисление удобным.
Первое неполное произведение получают умножением на цифру единиц второго множителя. Например, в 23 · 14 сначала вычисляют 23 · 4: единицы второго множителя дают именно четыре единицы. Если при умножении отдельных разрядов результат превышает 9, десятки переносят к следующему разряду, чтобы верно учесть их значение.
Затем умножают на цифру десятков, но результат этого действия относится к десяткам. Например, цифра 3 в числе 34 означает не 3 единицы, а 30, поэтому нужно получить a · 30. В записи столбиком второе неполное произведение начинают на один разряд левее: такой сдвиг показывает, что его единицы стоят в разряде десятков исходного произведения.
После этого неполные произведения складывают, выравнивая их по разрядам. Сумма даёт результат исходного умножения, поскольку складываются произведения на все части двузначного множителя. Для проверки можно округлить множители и оценить порядок ответа или поменять множители местами и пересчитать удобным способом.
Таблица показывает порядок действий и помогает не пропустить разрядный сдвиг. Следуй этапам сверху вниз, особенно внимательно записывая результат умножения на десятки. После сложения проверь, что цифры стоят под соответствующими разрядами.
| Этап | Действие | Что важно учесть |
|---|---|---|
| Разложение второго множителя | Представить его как сумму десятков и единиц. | Например, 27 = 20 + 7. |
| Умножение на цифру единиц | Умножить первый множитель на цифру единиц. | Записывать переносы в следующий разряд. |
| Умножение на цифру десятков | Умножить первый множитель на цифру десятков. | Помнить, что эта цифра обозначает десятки. |
| Запись второго неполного произведения | Записать результат со сдвигом на разряд влево. | Сдвиг соответствует умножению на десятки. |
| Сложение неполных произведений | Сложить оба результата в столбик. | Выровнять цифры по разрядам. |
| Проверка результата | Оценить произведение или переставить множители. | Ответ должен быть близок к оценке. |
Представим 14 как 10 + 4, чтобы применить распределительное свойство. Сначала найдём произведение 23 на единицы, затем — на десятки. После этого сложим результаты, учитывая, что второй из них относится к десяткам.
Ответ: 322. При записи столбиком результат 230 можно представить как 23 десятка, поэтому его записывают со сдвигом относительно результата 92. Проверка: 23 · 14 примерно равно 20 · 14 = 280, а 322 — число подходящего порядка.
Разложим 27 на 20 и 7: так станет видно, почему нужно получить два неполных произведения. При умножении на 7 возможен перенос, поэтому каждый шаг выполняем последовательно справа налево. Второй результат записываем со сдвигом, поскольку умножаем на десятки.
Ответ: 1296. Проверим оценкой: 48 примерно равно 50, а 27 — примерно 30, значит, произведение близко к 1500. Полученное число 1296 имеет подходящий порядок, а точное значение найдено сложением неполных произведений.
В числе 42 содержатся 40 и 2, поэтому вычислим 306 · 40 и 306 · 2. Ноль в первом множителе не нужно пропускать: при умножении на 2 он даёт ноль десятков, а при умножении на 40 разряды также учитываются по их значениям. В конце оценим, насколько велико должно быть произведение.
Ответ: 12 852. Для оценки округлим 306 примерно до 300, а 42 — до 40. Произведение 300 · 40 = 12 000, поэтому точный ответ 12 852 правдоподобен: он немного больше оценки, что согласуется с округлением множителей вниз.
Второе неполное произведение иногда записывают прямо под первым, начиная с единиц. Так делают, если воспринимают цифру десятков как обычную цифру, а не как количество десятков. Проверь себя: умножение на десятки должно давать результат, соответствующий десяткам, поэтому второе произведение сдвигают влево.
При записи второго неполного произведения могут не учесть сдвиг или забыть обозначить его нулём в промежуточной записи. Тогда цифры оказываются не в тех разрядах и сумма меняется. В столбике проверь, что разряд единиц второго результата расположен под разрядом десятков первого; ноль в конце можно не писать, если сдвиг показан расположением записи.
Ещё одна ошибка — не переносить десятки, когда произведение отдельных разрядов больше 9. Например, при умножении 8 на 7 получается 56: нельзя записать 56 в один разряд, нужно записать 6 и перенести 5 десятков. Проверяй каждое умножение по таблице и убеждайся, что перенесённые десятки прибавлены к следующему разряду.
Наконец, можно ошибиться при сложении неполных произведений или расположить числа неровно. Причина обычно в спешке: одинаковые разряды оказываются не друг под другом. Перед сложением выровняй единицы, десятки и сотни, а после него проверь ответ обратным прикидочным вычислением.
Для письменного умножения нужны таблица умножения, умение умножать многозначное число на однозначное и складывать числа в столбик. Если эти действия выполняются уверенно, легче сосредоточиться на разрядном сдвиге. Распределительное свойство объясняет алгоритм и позволяет считать некоторые произведения устно.
Тот же принцип по частям применяется при умножении на многозначные числа: для каждого разряда находят отдельное неполное произведение. Навык нужен и в практических задачах, например при расчёте стоимости нескольких одинаковых наборов или количества предметов в рядах. Умение оценивать ответ помогает заметить вычислительную ошибку до того, как использовать результат.
Почему при умножении на десятки второе неполное произведение записывают со сдвигом?
Второе неполное произведение получают при умножении на число десятков, то есть на разрядную часть вроде 20 или 40. Поэтому его записывают на один разряд левее первого: это учитывает десятки, а не единицы.
Нужно ли записывать ноль в начале второго неполного произведения?
При обычной записи в столбик ноль в конце второго неполного произведения часто не пишут: сдвиг влево уже показывает, что результат относится к десяткам. Но если записать умножение на полное число десятков, например 20, ноль будет частью результата.
Что делать, если при умножении разряда получается число больше 9?
Запиши цифру единиц в соответствующем разряде, а десятки перенеси в следующий разряд. Затем прибавь перенесённое число к результату умножения следующего разряда.
Можно ли поменять множители местами, чтобы считать удобнее?
Да, множители можно переставлять: от этого произведение не меняется. Выбери порядок, при котором вычисления проще записать и выполнить, а затем проверь разряды.
Как проверить, что результат умножения на двузначное число правдоподобен?
Округли множители до удобных чисел и примерно оцени произведение, затем сравни оценку с ответом. Можно также переставить множители и выполнить вычисление другим способом.
27. Умножение на двузначное число
