"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В.
Чтобы умножить число на двузначный множитель, его удобно представить как сумму десятков и единиц. Например, 26 = 20 + 6, поэтому 34 · 26 можно найти как сумму 34 · 20 и 34 · 6. При письменном умножении эти результаты называют неполными произведениями: сначала считают умножение на единицы, затем на десятки и складывают. Главное — помнить о сдвиге второго произведения на один разряд и аккуратно выполнять переносы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двузначное число — число, записанное двумя цифрами; при умножении его удобно представить как сумму десятков и единиц. Например, 24 состоит из 2 десятков и 4 единиц, то есть 24 = 20 + 4. Такой разбор показывает, на какие части можно заменить множитель при вычислении.
Разрядные слагаемые — слагаемые, на которые раскладывают число по его разрядам. Например, у числа 24 это 20 и 4, а у числа 36 — 30 и 6. Такое разложение нужно, чтобы отдельно умножить на десятки и единицы, а затем сложить результаты.
Неполное произведение — результат умножения числа на одно из разрядных слагаемых множителя. В произведении 34 · 26 такими результатами будут 34 · 6 и 34 · 20. Каждое неполное произведение показывает вклад одной части множителя в общий ответ.
Письменное умножение на двузначное число — способ найти произведение, последовательно умножая на единицы и десятки множителя и складывая результаты. В записи столбиком сначала находят первое неполное произведение, затем второе. Этот способ удобен, когда устные вычисления становятся длинными.
Двузначный множитель раскладывают на десятки и единицы, потому что его цифры обозначают количества разных разрядов. В числе 23 цифра 2 означает не две единицы, а два десятка, то есть 20; цифра 3 означает три единицы. Поэтому 23 = 20 + 3. Если учитывать это значение цифр, вычисление не смешивает десятки с единицами.
Распределительное свойство умножения позволяет умножить число на каждую часть суммы отдельно, а затем сложить результаты. Поэтому a · 23 = a · (20 + 3) = a · 20 + a · 3. Например, вместо одного сложного действия можно найти два более простых произведения. Именно на этом свойстве основан письменный алгоритм.
Первое неполное произведение получают умножением на цифру единиц множителя. В примере 34 · 26 сначала вычисляют 34 · 6 = 204. Единицы идут первыми, потому что находятся в меньшем разряде и соответствуют слагаемому 6, а не десяткам. При умножении по цифрам важно выполнять перенос: если результат разряда больше девяти, десятки прибавляют к следующему разряду.
Второе неполное произведение получают умножением на цифру десятков, но эта цифра обозначает десятки. В 26 цифра 2 означает 20, поэтому нужно вычислить 34 · 20 = 680, а не только 34 · 2 = 68. При записи столбиком вторую строку сдвигают влево на один разряд: так единицы результата умножения на 2 оказываются в разряде десятков. Сдвиг и показывает, что множитель равен двадцати.
Затем неполные произведения складывают, выравнивая единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Для 34 · 26 получаем 204 + 680 = 884. Проверить разумность результата можно оценкой: 34 примерно равно 30, а 26 примерно равно 30, значит произведение должно быть около 900. Дополнительная проверка — поменять множители местами и пересчитать, поскольку от перестановки множителей произведение не меняется.
| Этап | Действие | Пример для 34 · 26 |
|---|---|---|
| Умножение на единицы множителя | Умножить первый множитель на цифру единиц. | 34 · 6 = 204 |
| Запись первого неполного произведения | Записать полученный результат под чертой. | Первое неполное произведение — 204. |
| Умножение на десятки множителя | Умножить первый множитель на цифру десятков. | 34 · 2 = 68; это результат для 2 десятков. |
| Запись второго неполного произведения со сдвигом | Начать запись под разрядом десятков, поскольку множитель означает 20. | 34 · 20 = 680. |
| Сложение неполных произведений | Сложить результаты, соблюдая разрядное выравнивание. | 204 + 680 = 884. |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: сначала умножь на единицы, затем на десятки и только после этого складывай. В строке для десятков следи за сдвигом: он заменяет запись конечного нуля. Перед сложением проверь, что цифры в столбцах стоят по разрядам.
Множитель 14 удобно разложить на 10 и 4. Тогда произведение станет суммой двух вычислений, причём умножение на 10 особенно просто. Найдём оба неполных произведения и сложим их.
Ответ: 322.
В числе 306 есть ноль в разряде десятков, поэтому при умножении на единицы нужно сохранить разрядный порядок. Сначала получим произведение на 7, затем — на 20. Во второй строке сдвиг записи показывает умножение именно на десятки.
Ответ: 8262. Ноль в 306 не пропускают: он сохраняет место десятков и помогает правильно расположить цифры результата.
В каждой из 48 пачек по 25 листов, значит общее число листов равно произведению 48 · 25. Здесь удобно разложить 25 на 20 и 5 либо воспользоваться тем, что 25 — четверть от 100. Покажем вычисление разложением на разрядные слагаемые.
Ответ: 1200 листов бумаги.
При умножении на десятки иногда записывают второе неполное произведение без сдвига. Тогда фактически умножают на цифру десятков, а не на число десятков: например, вместо 34 · 20 получают 34 · 2. Такую ошибку допускают, если забывают значение разряда. Проверь себя: умножь на полное число десятков и сравни со второй строкой.
Перенос при умножении очередного разряда иногда забывают прибавить к следующему результату. Причина — считать цифры отдельно и воспринимать перенос как уже записанную часть ответа. Например, при 306 · 7 после 6 · 7 = 42 перенос 4 нужно прибавить к результату умножения десятков. Проверяй каждый переход вслух или записывай перенос над следующим разрядом.
Неполные произведения могут сложить, не выравнивая их по разрядам. Тогда единицы одного числа оказываются под десятками другого, и сумма получается неверной. Это часто происходит при невнимательной записи столбиком. Проверь, стоят ли единицы под единицами и десятки под десятками, прежде чем складывать.
Ошибка в первом неполном произведении возникает, если пропустить ноль в многозначном множителе или неверно умножить на цифру единиц. Например, в числе 306 нельзя забыть пустой разряд десятков: его место должно сохраниться. Такая ошибка часто появляется при быстром счёте по отдельным цифрам. Проверь умножение повторно по разрядам и оцени порядок результата.
Для умножения на двузначное число нужны таблица умножения, понимание разрядного состава многозначных чисел и навык письменного умножения на однозначное число. Распределительное свойство объясняет, почему один множитель можно разложить на слагаемые, а затем сложить частичные результаты. Этот же приём помогает выбирать удобные вычисления, например разложить 25 на 20 и 5. Алгоритм пригодится в задачах и станет основой письменного умножения на многозначные числа.
Почему двузначное число при умножении раскладывают на десятки и единицы?
Так виден разрядный состав числа: например, 23 — это 20 + 3. По распределительному свойству умножение на 23 можно заменить сложением умножений на 20 и на 3. Это помогает понять письменный алгоритм и выбрать удобный способ вычисления.
Что такое неполное произведение?
Это результат умножения числа на одно разрядное слагаемое множителя. Например, при вычислении 34 · 26 числа 34 · 6 и 34 · 20 — неполные произведения. Их складывают, чтобы получить ответ.
Почему второе неполное произведение записывают со сдвигом?
Второе неполное произведение получают при умножении на десятки, а не просто на цифру десятков. Поэтому его единицы фактически находятся в разряде десятков, сотни — в разряде тысяч и так далее. Сдвиг записи влево на один разряд показывает это значение.
Нужно ли записывать ноль в конце второго неполного произведения?
Если записываешь полное значение результата умножения на десятки, ноль в конце нужен: например, 34 · 20 = 680. В столбик его часто не пишут, а сразу сдвигают запись на один разряд влево. Оба способа верны, если разряды выровнены правильно.
Как проверить результат умножения на двузначное число?
Сначала оцени ответ: округли множители и проверь, подходит ли порядок величины. Затем можно переставить множители и вычислить произведение другим способом. Если оценки или повторное вычисление сильно расходятся с ответом, проверь неполные произведения и сложение.
Умножение на двузначное число
