"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Умножение на двузначное число выполняют, разбивая множитель на десятки и единицы. Затем находят два неполных произведения и складывают их. При записи столбиком произведение на десятки сдвигают на один разряд влево, потому что десятки имеют другое разрядное значение. Такой алгоритм помогает быстро умножать многозначные числа и не ошибаться в вычислениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двузначное число — число, записанное двумя цифрами. В его записи первая цифра показывает десятки, а вторая — единицы: 34 — это 3 десятка и 4 единицы. Такое представление нужно, чтобы заменить двузначный множитель суммой его разрядных частей.
Разрядные слагаемые — числа, составляющие двузначный множитель. Например, 34 = 30 + 4, где 30 — слагаемое десятков, а 4 — слагаемое единиц. Их выделяют для применения свойства умножения суммы на число.
Неполное произведение — результат умножения первого множителя на одно из разрядных слагаемых второго множителя. В примере 23 · 14 такими результатами будут 23 · 10 и 23 · 4. Неполные произведения находят отдельно, а затем складывают.
Письменное умножение на двузначное число — вычисление столбиком, при котором получают и складывают неполные произведения. Сначала работают с единицами множителя, затем с десятками. Такой способ удобен для многозначных чисел и помогает расположить цифры по разрядам.
Двузначный множитель раскладывают на десятки и единицы, потому что каждая его цифра имеет своё значение. Например, в числе 27 цифра 2 означает 20, а не 2 единицы. Поэтому умножение на 27 можно заменить умножением на 20 и на 7 с последующим сложением результатов.
Разложение основано на распределительном свойстве умножения: a · (b + c) = a · b + a · c. Это свойство говорит, что число можно умножить на каждое слагаемое отдельно, а затем сложить полученные результаты. Так сложное действие разбивается на действия, которые уже знакомы по умножению на однозначное число.
В столбик сначала умножают первый множитель на цифру единиц второго множителя. Полученное число записывают первой строкой неполного произведения, начиная с разряда единиц. Если при умножении выходит двузначный результат, единицы записывают сразу, а десятки переносят в следующий разряд.
Затем умножают первый множитель на цифру десятков. Например, цифра 3 в числе 34 означает 30, поэтому фактически выполняют умножение на 30. Второе неполное произведение начинают записывать с разряда десятков, то есть со сдвигом на одну позицию влево.
После нахождения двух строк их складывают по разрядам. При сложении также следят за переносом: если сумма цифр разряда больше 9, десятки переходят в следующий разряд. Полученная сумма и есть искомое произведение, потому что она равна сумме двух частей, на которые разложили множитель.
| Этап | Действие | Что важно учесть |
|---|---|---|
| Умножение на единицы множителя | Умножить первый множитель на цифру единиц. | Начинать вычисление с разряда единиц и выполнять переносы. |
| Умножение на десятки множителя | Умножить первый множитель на цифру десятков. | Понимать, что цифра десятков обозначает десятки, а не единицы. |
| Запись второго неполного произведения | Записать результат второй строкой со сдвигом влево. | Первая цифра этой строки должна находиться в разряде десятков. |
| Сложение неполных произведений | Сложить две строки столбиком. | Выравнивать цифры по разрядам и учитывать переносы. |
| Проверка результата | Сравнить ответ с вычислением по распределительному свойству или с оценкой. | Проверять не только цифры, но и примерный порядок произведения. |
Пользуйся таблицей как краткой памяткой: переходи к следующему этапу только после проверки предыдущего. Особое внимание уделяй второй строке, поскольку её положение показывает умножение на десятки. В конце полезно выполнить независимую проверку.
Число 14 состоит из 1 десятка и 4 единиц, поэтому его удобно представить как 10 + 4. Умножим 23 на каждую часть отдельно. Затем сложим полученные результаты.
Ответ: 322.
В множителе 32 цифра 2 показывает единицы, а цифра 3 — десятки. Сначала найдём произведение 46 на 2, затем произведение 46 на 30. Вторую строку запишем со сдвигом и сложим результаты.
Ответ: 1472.
Здесь первый множитель трёхзначный, но порядок действий остаётся прежним. Единицы множителя дают произведение 278 на 5, а десятки — произведение 278 на 40. После сложения проверим, находится ли ответ примерно в ожидаемом диапазоне.
Ответ: 12510; результат соответствует примерной оценке.
Второе неполное произведение иногда записывают без сдвига. Так происходит, когда забывают, что цифра десятков означает целые десятки. Проверь, начинается ли вторая строка под разрядом десятков, а не под единицами.
Некоторые считают цифру десятков обычными единицами: например, при множителе 34 умножают на 3 вместо 30. Причина ошибки — смешение цифры и её разрядного значения. Полезно перед вычислением вслух заменить 34 на 30 + 4.
При умножении можно потерять перенос, если записать только последнюю цифру результата. Например, из 8 · 7 = 56 нельзя взять только 6: 5 нужно прибавить к следующему разряду. Проверяй каждый промежуточный результат умножением или разложением числа.
Ошибки возникают и при сложении строк, если цифры не выровнены по разрядам. Тогда единицы складываются с десятками, а часть результата может пропасть. Перед сложением убедись, что единицы, десятки и сотни стоят строго друг под другом.
До этой темы нужно уверенно умножать многозначное число на однозначное и складывать числа столбиком. Эти действия становятся отдельными шагами нового алгоритма. Если в них есть ошибки, сначала полезно повторить переносы и сложение по разрядам.
Также понадобятся разрядный состав чисел и распределительное свойство умножения. Они объясняют, почему двузначный множитель можно представить суммой десятков и единиц. Благодаря этому запись столбиком не является набором механических правил.
Алгоритм пригодится при умножении многозначных чисел и решении практических задач. Например, так находят стоимость нескольких одинаковых покупок, общую величину или количество предметов в нескольких группах. Умение оценивать ответ помогает быстро замечать грубые вычислительные ошибки.
Почему двузначный множитель раскладывают на десятки и единицы?
Так умножение на двузначное число заменяется двумя более простыми умножениями. Например, 34 = 30 + 4, поэтому a · 34 = a · 30 + a · 4.
Почему второе неполное произведение записывают со сдвигом?
Цифра десятков обозначает не единицы, а целые десятки. Поэтому произведение на десятки начинается с разряда десятков и записывается на одну позицию левее.
Нужно ли записывать ноль в разряде единиц второго неполного произведения?
При записи столбиком ноль обычно не пишут, а сразу начинают второе неполное произведение с разряда десятков. Сдвиг строки показывает, что в разряде единиц стоит ноль.
Что делать, если при умножении получается двузначное число?
Цифру единиц записывают в текущий разряд, а десятки переносят в следующий. Перенесённое число обязательно прибавляют к следующему результату умножения.
Как проверить результат умножения на двузначное число?
Можно выполнить вычисление другим способом: разложить множитель на десятки и единицы и сложить два произведения. Для быстрой проверки также округляют множители и сравнивают порядок полученного ответа с примерным результатом.
2.59. Умножение на двузначное число
