"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Решение текстовой задачи начинается не с вычислений, а с понимания описанной ситуации. Нужно определить известные и неизвестные величины, установить связи между ними, составить краткую запись или схему, а затем выбрать математическую модель: выражение, равенство или уравнение. После вычислений результат обязательно проверяют по условию и записывают полный ответ с единицей измерения. Такой порядок помогает решать задачи уверенно и не путать действия.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — описание жизненной ситуации с известными и неизвестными величинами, между которыми нужно установить связи и найти ответ на вопрос. Например, в задаче могут быть указаны количество карандашей и остаток, а неизвестным будет число раздали. Такое определение помогает отличать задачу от отдельного примера на вычисление.
Краткая запись — компактное представление условия с помощью слов, схемы, таблицы или обозначений. В ней оставляют только существенные данные и показывают, как они связаны. Благодаря этому проще понять условие, не потерять числа и выбрать нужное действие.
Математическая модель — выражение, уравнение, схема или таблица, описывающие отношения между величинами задачи. Например, ситуацию «было 36, осталось 19» можно записать выражением 36 − 19 или уравнением 36 − x = 19. Модель переводит обычную речь на язык математики.
Проверка решения — сопоставление найденного результата с условием, вопросом и смыслом описанной ситуации. Для проверки можно выполнить обратное действие или подставить ответ в исходное равенство. Это помогает обнаружить ошибку в вычислениях, выборе действия или единицах измерения.
Сначала нужно понять условие, потому что одинаковые числа могут описывать разные отношения. Выделите известные величины, неизвестную величину и вопрос: именно вопрос определяет, что должно получиться в конце. Если начать считать сразу, можно выполнить верное действие с неподходящими числами и получить бессмысленный результат.
Краткая запись или схема помогает увидеть связи между величинами, которые трудно заметить в сплошном тексте. По схеме видно, что является частью, целым, разностью, расстоянием или скоростью. Поэтому действие выбирают не по отдельному слову, а по отношению: части складывают, остаток вычитают из целого, а при движении навстречу скорости складывают.
Чтобы перевести условие в математическую модель, заменяйте слова математическими отношениями. Неизвестную величину можно обозначить буквой x, после чего составить выражение или уравнение: например, «во второй корзине на 8 больше» означает 24 + 8, а «было, затем уменьшилось и осталось» — 36 − x = 19. Запись должна описывать именно те связи, которые указаны в условии, а не просто содержать все встречающиеся числа.
Порядок вычислений должен соответствовать последовательности установленных отношений. Если сначала нужно узнать количество яблок во второй корзине, нельзя сразу складывать 24 и 8 с чем-либо ещё: сначала получают 32, затем находят общее количество. После решения результат проверяют обратным действием, подстановкой в условие и оценкой смысла, а затем записывают полный ответ с единицей измерения.
Таблица показывает общий порядок работы с любой текстовой задачей. Её можно использовать как план: переходить к следующему этапу стоит после того, как понятен предыдущий. Если на проверке обнаружена ошибка, нужно вернуться к анализу условия или модели, а не исправлять только последнее вычисление.
| Этап | Что выяснить | Что сделать | Результат |
|---|---|---|---|
| Анализ условия | Что известно, что неизвестно и о чём спрашивают | Прочитать условие, выделить величины и вопрос | Понятна цель решения |
| Краткая запись или схема | Как связаны данные между собой | Записать числа, обозначения, отношения или начертить схему | Условие представлено наглядно |
| Выбор математической модели | Каким выражением или уравнением описывается ситуация | Обозначить неизвестное и составить модель | Получена запись для решения |
| Решение модели | Какие действия и в каком порядке нужны | Выполнить вычисления или решить уравнение | Найдено значение неизвестной величины |
| Проверка | Соответствует ли результат условию | Выполнить обратное действие, подставить ответ, оценить смысл | Подтверждена правильность решения |
| Запись ответа | На какой вопрос нужно ответить | Сформулировать ответ словами и указать единицу измерения | Получен полный ответ задачи |
Задача 1. В коробке было 36 карандашей. После того как несколько карандашей раздали, осталось 19. Сколько карандашей раздали? Неизвестно уменьшение: из первоначального количества вычли его и получили остаток.
Ответ: раздали 17 карандашей.
Задача 2. В первой корзине 24 яблока, что на 8 яблок меньше, чем во второй. Сколько яблок в двух корзинах вместе? Сначала нужно восстановить большее количество во второй корзине, а затем объединить яблоки из двух корзин.
Ответ: в двух корзинах 56 яблок.
Задача 3. Из двух посёлков одновременно навстречу друг другу выехали велосипедисты со скоростями 12 км/ч и 15 км/ч. Расстояние между посёлками 81 км. Через сколько часов они встретятся? При движении навстречу расстояние между велосипедистами уменьшается сразу за счёт обеих скоростей.
Ответ: велосипедисты встретятся через 3 часа.
Ученик сразу выполняет вычисления, не выяснив, что известно и что требуется найти. Так происходит, когда внимание сосредоточено на числах, а не на отношениях между ними. Перед решением задайте себе вопрос и составьте хотя бы короткую запись: она покажет, действительно ли выбранное действие отвечает задаче.
Величины иногда сравнивают в неправильном порядке и путают выражения «больше на», «меньше на», «в несколько раз». Например, если первая величина на 8 меньше второй, вторую находят прибавлением 8 к первой. Проверьте себя обратным сравнением: разность большей и меньшей величин должна равняться 8.
Нельзя складывать или сравнивать величины с разными единицами без перевода. 2 м и 30 см сначала приводят к одной единице, например 200 см и 30 см. После вычисления проверьте, одинаковы ли единицы во всех действиях и указана ли нужная единица в ответе.
Ответ без проверки или без единицы измерения может скрыть ошибку. Отрицательное количество предметов, слишком большое время или несоответствие исходному расстоянию сразу указывают на проблему. Выполните обратное действие, подставьте результат в условие и запишите ответ словами.
Для решения задач нужно уметь внимательно читать условие, выполнять арифметические действия и работать с величинами и единицами измерения. Эти умения позволяют правильно понимать числа и записывать результат.
Тема опирается на схемы, таблицы, выражения и уравнения, изученные ранее. Они служат инструментами для построения математической модели, когда словесного описания недостаточно.
Навык решения задач пригодится при изучении движения, стоимости, производительности и процентов. Во всех таких темах важно переводить жизненную ситуацию в математические отношения.
Зачем составлять краткую запись, если условие уже дано словами?
Слова могут скрывать связи между величинами, а краткая запись делает их видимыми. В ней легче сравнить числа, понять порядок действий и заметить, каких данных не хватает.
Как понять, какое действие нужно выполнить первым?
Сначала определите, какую величину нужно найти непосредственно по условию. Посмотрите, какие данные связаны с ней: например, чтобы найти путь, используют скорость и время, а чтобы найти целое по частям, выполняют сложение.
Когда для решения задачи нужно составлять уравнение?
Уравнение удобно составлять, если неизвестная величина входит в несколько связанных действий или её значение сразу не находится одним действием. Неизвестное обозначают буквой и записывают равенство по условию задачи.
Как проверить, что найденный ответ имеет смысл?
Подставьте результат в условие и выполните обратное действие или проверьте исходное равенство. Оцените также единицу измерения и размер числа: например, количество яблок не может быть отрицательным.
Что делать, если в условии есть лишние или неиспользованные данные?
Сначала убедитесь, что вы правильно поняли вопрос и все связи между величинами. Если некоторые данные действительно не нужны для ответа, не следует искусственно включать их в решение: лишняя информация иногда специально проверяет умение выделять главное.
2.57-2.58. Решение задач
