"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Умножение на двузначное число выполняют по его разрядному составу: десятки и единицы превращаются в отдельные неполные произведения. Затем эти результаты складывают и получают общий ответ. Такой способ основан на распределительном свойстве умножения и помогает уверенно умножать многозначные числа столбиком. Главное — правильно расположить второе неполное произведение по разрядам и не забыть переносы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двузначный множитель — число, на которое умножают; его можно представить как сумму десятков и единиц. Например, 27 = 20 + 7. Такое представление подсказывает, на какие части нужно разделить вычисление.
Разрядные слагаемые — слагаемые, на которые раскладывают двузначное число: 34 = 30 + 4. Число 30 показывает десятки, а 4 — единицы. Это нужно, чтобы отдельно умножить первый множитель на каждую часть.
Неполное произведение — результат умножения первого множителя на одно из разрядных слагаемых второго множителя. Например, при вычислении 23 · 14 числа 23 · 4 и 23 · 10 являются неполными произведениями. Их находят до получения общего результата.
Письменное умножение на двузначное число — способ найти произведение, отдельно вычисляя неполные произведения и складывая их. При этом каждое число записывают под соответствующими разрядами. Такой порядок уменьшает риск потерять десятки или единицы.
Двузначный множитель раскладывают на десятки и единицы, потому что умножение суммы можно заменить суммой произведений: a · (b + c) = a · b + a · c. Например, вместо 46 · 23 рассматривают 46 · (20 + 3). Так сложное действие превращается в два умножения на более простые числа.
При умножении на единицы второго множителя получают первое неполное произведение. Затем умножают первый множитель на десятки и получают второе. Такое разделение нужно потому, что единицы и десятки имеют разное значение в записи числа.
Второе неполное произведение записывают со сдвигом на один разряд влево, потому что оно выражает количество десятков. Например, умножение на 20 даёт число, в котором последняя цифра — ноль, поэтому результат начинается с разряда десятков. Сдвиг помогает сложить единицы, десятки и сотни именно с одноимёнными разрядами.
Сумма неполных произведений равна искомому произведению благодаря распределительному свойству. Если 135 · 24 заменить выражением 135 · (20 + 4), получится 135 · 20 + 135 · 4. Значит, сложение двух промежуточных результатов не является отдельным приёмом, а точно повторяет исходное умножение.
Устный и письменный способы дают один и тот же результат, потому что основаны на одинаковых свойствах действий. Устно удобно считать, когда числа небольшие или имеют круглые десятки. Письменная запись надёжнее при больших числах: она показывает каждый разряд и перенос.
| Этап | Действие | Что получается |
|---|---|---|
| Умножение на единицы второго множителя | Умножить первый множитель на цифру единиц | Первое неполное произведение |
| Умножение на десятки второго множителя | Умножить первый множитель на цифру десятков и учесть десятки | Второе неполное произведение |
| Запись неполных произведений с учётом разрядов | Расположить вторую строку со сдвигом влево на один разряд | Разряды стоят один под другим |
| Сложение неполных произведений | Сложить строки по разрядам, выполняя переносы | Искомое произведение |
Пользуйся таблицей как алгоритмом: переходи к следующей строке только после проверки предыдущего шага. Особенно внимательно следи за разрядом единиц второго неполного произведения. В конце сравни ответ с примерной оценкой результата.
Вычислим 23 · 14. Множитель 14 состоит из 1 десятка и 4 единиц, поэтому произведение удобно разделить на две части.
Ответ: 322.
Вычислим 306 · 27. Здесь после умножения на единицы может появиться перенос, а произведение на десятки нужно записать с нулём в конце.
В столбике число 6120 располагают со сдвигом, поскольку оно получено при умножении на десятки. Ответ: 8262.
В библиотеку привезли 24 коробки книг по 135 книг в каждой. Нужно узнать общее количество, поэтому число книг в одной коробке умножаем на количество коробок: 135 · 24.
Порядок результата разумен: 135 примерно равно 100, а 24 примерно равно 20, значит, ответ должен быть около 2000–3000. Ответ: 3240 книг.
Второе неполное произведение иногда записывают без сдвига на разряд. Так происходит, когда забывают, что умножали на десятки, а не на единицы. Проверь себя: вторая строка должна начинаться под разрядом десятков или оканчиваться нулём при записи полного результата.
При сложении неполных произведений можно неверно выполнить перенос единиц. Ошибка появляется, если результат сложения в разряде больше 9, но десяток не прибавляют к следующему разряду. Проверяй каждый столбик справа налево и отмечай перенос отдельно.
Иногда пропускают ноль, связанный с умножением на десятки, особенно если в промежуточной записи есть нулевой разряд. Из-за этого цифры сдвигаются и складываются не по разрядам. Сверь запись с разложением множителя, например 27 = 20 + 7, и проверь положение единиц второго произведения.
Некоторые складывают цифры двузначного множителя или умножают только на одну из них. Причина — смешение разрядного состава числа с обычным сложением. Запиши множитель как сумму десятков и единиц и убедись, что использованы оба произведения.
До этой темы нужно знать таблицу умножения, письменное умножение на однозначное число и разрядный состав многозначных чисел. Эти умения позволяют правильно выполнять каждый промежуточный шаг. Без них трудно контролировать переносы и положение цифр.
Распределительное свойство объясняет, почему двузначный множитель можно заменить суммой разрядных слагаемых. Оно также помогает упрощать выражения с несколькими действиями. Поэтому письменный алгоритм связан не только с записью столбиком, но и с законами арифметики.
Умножение на двузначное число служит основой для умножения на многозначные числа. Тот же принцип используется в задачах о покупках, расстояниях, количестве предметов и стоимости. Меняется только число неполных произведений.
Почему двузначный множитель раскладывают на десятки и единицы?
Так удобнее применить распределительное свойство умножения: a · (b + c) = a · b + a · c. Например, число 14 можно заменить суммой 10 + 4 и найти два более простых произведения.
Почему второе неполное произведение записывают со сдвигом?
Второе произведение получают при умножении на десятки, а не на единицы. Поэтому его единицы находятся в разряде десятков исходного произведения и записываются на один разряд левее.
Что делать, если при умножении цифр получается двузначное число?
Единицы полученного числа записывают в текущий разряд, а десятки переносят в следующий. Перенос прибавляют к результату следующего умножения.
Нужно ли записывать ноль во втором неполном произведении?
При умножении на десятки результат оканчивается нулём, потому что десяток содержит 10 единиц. Ноль нужно учитывать при записи по разрядам, даже если в некоторых кратких записях строку с нулевым произведением не пишут.
Как проверить результат умножения на двузначное число?
Можно оценить ответ по порядку величины и проверить вычисление обратным действием — делением. Если произведение разделить на один из множителей, должен получиться другой множитель.
Умножение на двузначное число
