"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Умножение многозначного числа на двузначное выполняют письменно через два неполных произведения. Сначала число умножают на единицы двузначного множителя, затем — на его десятки, записывая второй результат со сдвигом влево. После этого неполные произведения складывают по разрядам. Такой алгоритм помогает выполнять большие вычисления точно, а оценка и деление позволяют проверить ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множитель — число, которое умножают на другое число. В записи 324 × 12 числа 324 и 12 являются множителями, но у них разное количество разрядов. Понимание этого термина помогает отличать числа в примере и правильно выбирать порядок действий.
Неполное произведение — результат умножения первого множителя на один разряд второго множителя. Например, в выражении 324 × 12 такими результатами будут 324 × 2 и 324 × 10. Неполные произведения нужны, чтобы заменить одно сложное действие двумя более простыми.
Разрядный сдвиг — изменение положения цифр неполного произведения при умножении на десятки. Такой результат записывают на один разряд левее, потому что каждая единица второго множителя означает десяток. Сдвиг помогает сохранить настоящее значение цифр при сложении результатов.
Письменное умножение на двузначное число — способ найти произведение через вычисление и сложение неполных произведений. В столбик сначала получают результат умножения на единицы, затем — на десятки. Этот алгоритм удобен для многозначных чисел, когда устный счёт становится трудным.
Двузначный множитель можно разложить на десятки и единицы: например, 36 = 30 + 6. Поэтому 2 408 × 36 заменяют суммой 2 408 × 6 и 2 408 × 30. Это основано на распределительном свойстве умножения: число умножают на каждое слагаемое, а результаты складывают.
Сначала многозначное число умножают на число единиц двузначного множителя. Действуют справа налево: единицы умножают на единицы, затем десятки на единицы и так далее. Если произведение цифр равно 10 или больше, его единицы записывают в текущем разряде, а десятки переносят к следующему произведению, потому что десять единиц образуют один десяток.
Затем число умножают на число десятков второго множителя. Полученный результат является произведением на десятки, поэтому его записывают со сдвигом на один разряд влево. Иначе говоря, первая записанная цифра этого результата должна оказаться в разряде десятков, а не единиц: так учитывается множитель 10, 20, 30 и тому подобный.
После вычисления двух строк их складывают по разрядам, начиная с единиц. Цифры должны стоять строго одна под другой: единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями. Полученная сумма и есть искомое произведение, поскольку она объединяет оба результата разложения двузначного множителя.
Ответ полезно оценить до или после вычисления. Если 2 408 округлить до 2 400, а 36 — до 40, произведение будет примерно 96 000, поэтому точный результат должен быть близок к этому числу. Дополнительно можно разделить произведение на один из множителей и убедиться, что получается другой множитель.
Таблица показывает порядок действий от первого умножения до проверки. Используй её как краткий алгоритм: переходи к следующему этапу только после того, как выровнял разряды и учёл переносы.
| Этап | Действие | Что важно учесть |
|---|---|---|
| Умножение на единицы | Умножить первый множитель на цифру единиц. | Переносить десятки в следующий разряд. |
| Умножение на десятки | Умножить первый множитель на цифру десятков. | Помнить, что получен результат умножения на десятки. |
| Запись неполных произведений | Записать результаты двумя строками. | Вторую строку сдвинуть на один разряд влево. |
| Сложение неполных произведений | Сложить обе строки по разрядам. | Совмещать одинаковые разряды и учитывать переносы. |
| Проверка результата | Оценить ответ или выполнить обратное деление. | Ответ должен быть разумным и давать исходный множитель. |
Нужно умножить 324 на двузначное число 12. В нём 2 единицы и 1 десяток, поэтому составим два неполных произведения. Затем сложим их с учётом разрядного сдвига.
Ответ: 3 888. Проверка разложением показывает то же самое: 324 × (10 + 2) = 3 240 + 648.
В числе 36 есть 6 единиц и 3 десятка, поэтому сначала найдём произведение на 6, а потом — на 30. При умножении по разрядам будут переносы, их нужно сразу прибавлять к следующему действию.
Ответ: 86 688. Оценка 2 400 × 40 = 96 000 подтверждает, что результат должен быть примерно в пределах нескольких десятков тысяч.
В библиотеку привезли 28 коробок, в каждой было по 1 236 книг. Чтобы узнать общее количество книг, число книг в одной коробке умножаем на количество коробок. Получаем выражение 1 236 × 28.
Ответ: в библиотеку привезли 34 608 книг. Оценка 1 200 × 30 = 36 000 близка к точному результату, значит ответ выглядит правдоподобно.
Забывают сдвинуть второе неполное произведение. Тогда результат умножения на десятки принимают за результат умножения на единицы, и ответ получается слишком маленьким. Проверь, стоит ли первая цифра второй строки в разряде десятков.
Не выравнивают неполные произведения. Цифры оказываются не под своими разрядами, поэтому при сложении меняются их значения. Перед сложением проверь: единицы должны быть под единицами, десятки — под десятками.
Забывают перенос или относят его не к той цифре. Такая ошибка появляется, когда переходят к следующему разряду слишком быстро. После каждого умножения проверь, записана ли единица результата и прибавлен ли перенос к следующему произведению.
Записывают перенос отдельно. Перенос не является самостоятельным слагаемым в строке: он входит в следующее произведение цифр. Если записать его отдельно, одна и та же величина может потеряться или посчитаться дважды.
Перед изучением темы нужно уверенно умножать многозначные числа на однозначное число и складывать числа по разрядам. Эти навыки составляют основу двух строк письменного умножения и помогают правильно выполнять переносы.
Разложение двузначного множителя на десятки и единицы связано с распределительным свойством умножения. Тот же способ пригодится при умножении на многозначные числа, а позднее — при действиях с рациональными числами и выражениями.
Почему сначала умножают на единицы, а потом на десятки?
Двузначное число состоит из десятков и единиц, поэтому его удобно представить как сумму этих разрядных слагаемых. Умножение на каждое слагаемое даёт два неполных произведения, которые затем складывают.
Почему второе неполное произведение записывают со сдвигом?
Второе произведение получают при умножении на десятки, а каждый десяток в десять раз больше единицы. Поэтому его единицы фактически обозначают десятки исходного произведения и должны стоять на один разряд левее.
Что делать, если при умножении цифр получается число больше 9?
Единицы полученного числа записывают в текущем разряде, а десятки переносят в следующий разряд. Перенос прибавляют к следующему произведению цифр, а не записывают отдельным слагаемым.
Нужно ли записывать ноль в начале второго неполного произведения?
Обычно ноль в начале второго неполного произведения не записывают, если он только показывает пустой разряд. Но разрядный сдвиг всё равно должен быть сохранён: запись начинают с позиции десятков.
Как проверить результат умножения на двузначное число?
Можно округлить множители и сравнить точный ответ с примерной оценкой. Другой способ — разделить произведение на один из множителей: должен получиться второй множитель без остатка.
2.60—2.61. Умножение многозначных чисел на двузначное число
