Деление на двузначное число

Определения и обозначения

Деление на двузначное число — деление, при котором делитель записан двумя цифрами. Многозначное делимое делят поразрядно: находят цифры частного одну за другой, начиная со старших разрядов. Такой способ позволяет работать с числом постепенно, не пытаясь сразу определить всё частное.

Неполное частное — часть частного, которую находят на очередном шаге деления. Она соответствует определённому разряду делимого: например, первая цифра частного может показывать число сотен. Это помогает правильно записывать результат и понимать, какую часть числа мы уже разделили.

Пробная цифра частного — предварительно выбранная цифра частного, которую проверяют умножением на делитель. Полученное произведение сравнивают с неполным делимым. Проверка нужна, чтобы убедиться: выбранная цифра не заставляет вычесть больше, чем есть на этом шаге.

Остаток при делении — число, которое остаётся после того, как из неполного делимого вычли произведение делителя на найденную цифру частного. В конце деления остаток должен быть меньше делителя. Если он не меньше, значит, деление ещё можно продолжить.

Как это устроено

Многозначное число делят поразрядно, потому что сразу определить всё частное обычно трудно. Сначала рассматривают его начальные цифры слева и выбирают первую часть, достаточную для деления на делитель. Если эта часть меньше делителя, к ней присоединяют следующую цифру: иначе первая цифра частного была бы нулём и не дала бы полезного шага.

Когда первое неполное делимое найдено, определяют, какому разряду оно соответствует. Например, если для деления пришлось взять три первые цифры числа, первую цифру частного записывают над разрядом сотен. Разряд важен, потому что цифра частного означает не просто количество единиц, а количество единиц соответствующего разряда. Если записать её не на том месте, изменится значение всего частного.

Цифру частного подбирают с помощью умножения. Можно прикинуть, сколько раз делитель помещается в неполном делимом, а затем проверить выбранную цифру: умножить на неё делитель и сравнить произведение с неполным делимым. Произведение должно быть не больше этой части числа. Если оно превышает её, вычесть его нельзя, поэтому пробную цифру уменьшают.

Пробную цифру иногда выбирают меньше наибольшей подходящей. Такое частное всё ещё может быть верным: например, после вычитания останется достаточно большой остаток, который позволит учесть недостающие группы на следующих шагах. Однако вычислений станет больше, а запись — длиннее. Поэтому удобно стремиться к наибольшей цифре, произведение которой не превосходит неполное делимое.

После проверки произведение вычитают из неполного делимого. К полученному остатку сносят следующую цифру делимого: приписывают её справа, сохраняя порядок разрядов. Получившееся число становится новым неполным делимым, и подбор цифры повторяется. Деление заканчивают, когда все цифры делимого использованы; оставшееся число проверяют как остаток.

Порядок деления многозначного числа на двузначное

Пользуйтесь таблицей сверху вниз: каждый новый шаг опирается на результат предыдущего. Если произведение оказалось больше неполного делимого, вернитесь к подбору цифры и уменьшите её. В конце убедитесь, что использованы все цифры делимого и остаток меньше делителя.

Разбор задач

Вычислите 672 : 21. Первые две цифры, 67, уже больше 21, поэтому первое неполное делимое — 67. Число 67 относится к десяткам делимого, значит, первая цифра частного будет стоять в разряде десятков. Подберём её проверкой умножением.

1. 21 × 3 = 63, а 21 × 4 = 84, что больше 67. Значит, подходит цифра 3.
2. Вычтем: 67 − 63 = 4. Снесём следующую цифру 2 и получим 42.
3. 42 : 21 = 2, потому что 21 × 2 = 42. Остаток равен 0, поэтому частное — 32.

Ответ: 672 : 21 = 32. Проверка: 32 × 21 = 672. Умножение подтверждает, что частное найдено верно.

Вычислите 1848 : 28. Первые две цифры, 18, меньше 28, поэтому начинаем с числа 184. Оно соответствует сотням, так что первая цифра частного будет записана в разряде сотен. Здесь важно учесть, что 184 — это не весь делитель, а первое неполное делимое.

1. 28 × 6 = 168, а 28 × 7 = 196, что больше 184. Первая цифра частного — 6; вычитаем 184 − 168 = 16.
2. Сносим цифру 8: получаем 168. Число 28 помещается в нём 6 раз, потому что 28 × 6 = 168. Вычитаем, остаток равен 0.
3. Сносим последнюю цифру 4. Так как 4 меньше 28, в частном на этом месте записываем 0, и деление заканчивается.

Ответ: 1848 : 28 = 66. Проверка: 66 × 28 = 1848. Ноль в частном необходим: без него цифры частного обозначали бы другой разряд.

Вычислите 2357 : 34 с остатком и проверьте результат. Первые две цифры, 23, меньше 34, поэтому первое неполное делимое — 235. Оно относится к сотням, и первую цифру частного записываем в разряде сотен. Подбираем цифры, каждый раз проверяя произведение.

1. 34 × 6 = 204, а 34 × 7 = 238, что больше 235. Записываем 6 и вычитаем: 235 − 204 = 31.
2. Сносим 7 и получаем 317. 34 × 9 = 306, а 34 × 10 = 340, поэтому следующая цифра частного — 9. Остаток после вычитания: 317 − 306 = 11.
3. Сносим последнюю цифру 5 и получаем 115. 34 × 3 = 102, а 34 × 4 = 136, что больше 115. Записываем 3; остаток равен 115 − 102 = 13.

Ответ: 2357 : 34 = 69 (ост. 11). Проверка: 34 × 69 + 11 = 2346 + 11 = 2357. Остаток 11 меньше делителя 34, значит, деление завершено.

Типичные ошибки

Цифру частного записывают не над тем разрядом, если начинают делить, не определив разряд первого неполного делимого. Так случается, когда смотрят только на величину числа и не учитывают, какие цифры делимого в него вошли. Проверьте, какой разряд представляет первая взятая часть, и запишите цифру частного над ним.

Иногда оставляют пробную цифру, хотя произведение делителя на неё больше неполного делимого. Ошибка возникает, если проверку умножением пропускают или сравнивают только сами множители. Умножьте делитель на пробную цифру и сравните именно произведение с неполным делимым; если оно больше, уменьшите цифру.

Можно забыть снести следующую цифру или неверно приписать её к остатку. Тогда новое неполное делимое составляется неправильно, и все дальнейшие цифры частного могут оказаться неверными. После каждого вычитания сверьтесь с записью делимого и приписывайте справа именно следующую неиспользованную цифру.

Деление с остатком иногда считают законченным, не проверив величину остатка. Это происходит, когда остаток ошибочно воспринимают как любое число, оставшееся после вычитания. Сравните его с делителем: остаток должен быть меньше. Затем проверьте равенство «делитель × частное + остаток = делимое».

Связь с другими темами

Чтобы делить на двузначное число, нужно уметь делить многозначные числа на однозначные, а также уверенно выполнять умножение и вычитание столбиком. Умножение помогает подобрать цифру частного, а вычитание — находить остаток на каждом шаге. Этот навык пригодится при делении многозначных чисел и решении задач на равное распределение. Проверка умножением помогает обнаружить ошибку в вычислениях.

Что запомнить

• Деление на двузначное число выполняют поразрядно.
• Первое неполное делимое должно быть не меньше делителя.
• Цифру частного проверяют умножением на делитель.
• Если произведение больше неполного делимого, пробную цифру уменьшают.
• После каждого вычитания к остатку сносят следующий разряд делимого.
• При делении с остатком остаток меньше делителя.
• Проверка деления с остатком: делитель умножить на частное и прибавить остаток.