29. Деление на двузначное число

Определения и обозначения

Деление на двузначное число — способ найти частное, если делитель записан двумя цифрами. Многозначное делимое делят постепенно: находят часть, относящуюся к очередному разряду, и определяют, сколько раз в неё помещается делитель. Такой порядок помогает учесть значение каждой цифры и правильно записать частное.

Неполное частное — часть искомого частного, которую находят на очередном шаге деления. Она показывает, сколько раз делитель помещается в выбранной части делимого с учётом её разряда. Например, если первая часть делимого обозначает сотни, найденная цифра частного тоже относится к разряду сотен. Понимание этого помогает не сдвинуть цифры частного.

Пробная цифра частного — предполагаемая цифра очередного разряда частного. Её выбирают по текущей части делимого, а затем умножают на весь делитель. Так можно проверить, подходит ли предположение: произведение не должно превышать часть делимого, с которой сейчас работают. Если оно слишком велико, пробную цифру уменьшают.

Остаток при делении — число, которое остаётся после вычитания произведения делителя на найденное частное. Это часть делимого, которую пока не удалось разделить нацело; её используют на следующем шаге, если можно снести следующую цифру. В конце остаток должен быть меньше делителя. Иначе деление можно продолжить, увеличив частное.

Как это устроено

Деление начинают не обязательно с одной первой цифры. Слева выбирают наименьшую часть делимого, которая не меньше делителя: если делитель больше первой цифры, берут первые две, а если и их недостаточно — следующую цифру тоже. Так первая цифра частного сразу обозначает правильный разряд. Если начать с части, меньшей делителя, на этом шаге нельзя получить ненулевую цифру частного.

Чтобы оценить цифру частного, смотрят, сколько раз делитель может поместиться в выбранной части делимого. Иногда удобно ориентироваться на первые цифры делителя и делимого, чтобы быстро наметить пробную цифру. Но это только оценка: округление может дать слишком большой результат. Поэтому цифру проверяют умножением на весь делитель и сравнивают полученное произведение с текущей частью делимого.

Когда пробная цифра подходит, делитель умножают на неё и вычитают произведение из текущей части делимого. Полученная разность — остаток на этом шаге. К нему приписывают следующую, ещё не использованную цифру делимого: так образуется новая часть для деления. Сносить цифру нужно именно к остатку, потому что вычитание уже учло предыдущие разряды.

Каждая найденная цифра частного занимает тот разряд, который соответствует текущей части делимого: сначала могут получиться сотни, затем десятки, потом единицы. Если после сноса цифры новая часть всё ещё меньше делителя, делитель в неё не помещается ни разу. Тогда в соответствующем разряде частного записывают 0 и сносят следующую цифру. Ноль сохраняет место разряда и не позволяет остальным цифрам частного сдвинуться.

После обработки всех цифр делимого оставшаяся разность становится остатком от деления с остатком. Чтобы проверить вычисление, умножают делитель на частное и прибавляют остаток: сумма должна совпасть с делимым. Это равенство показывает, что делимое разложено на несколько равных делителю частей и оставшуюся часть. Остаток обязан быть меньше делителя, иначе в нём ещё можно выделить одну или несколько таких частей.

Этапы деления на двузначное число

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: к следующему этапу переходи после проверки текущего. Если произведение слишком велико, вернись к подбору цифры и уменьши её. В конце отдельно проверь разряды частного и остаток.

Разбор задач

Вычислите 672 : 21.

Нужно найти, сколько раз 21 содержится в 672. Начинаем с первых двух цифр: 6 меньше 21, а 67 уже не меньше делителя, поэтому первая часть частного будет относиться к десяткам. Проверим цифры подбором и продолжим деление по разрядам.

1. Сравниваем 67 и 21. Пробуем цифру 3: 21 · 3 = 63, а 21 · 4 = 84, что больше 67. Значит, в разряде десятков частного записываем 3.
2. Вычитаем: 67 − 63 = 4. Сносим следующую цифру 2 и получаем 42. Делитель 21 помещается в 42 два раза, потому что 21 · 2 = 42.
3. Вычитаем 42 − 42 = 0. Цифра 2 относится к единицам, поэтому частное равно 32, остатка нет.

Ответ: 672 : 21 = 32. Проверка: 21 · 32 = 672. Значит, частное найдено верно.

Вычислите 1526 : 34.

Первая цифра 1 меньше делителя 34, как и число 15, поэтому начинаем с 152. Эта часть делимого задаёт первый разряд частного — десятки. После каждого вычитания будем сносить очередную цифру, сохраняя порядок разрядов.

1. Подбираем цифру для 152: 34 · 4 = 136, а 34 · 5 = 170, что больше 152. Записываем 4 в частное и вычитаем: 152 − 136 = 16.
2. Сносим цифру 6 к остатку 16 и получаем 166. Делитель 34 помещается здесь 4 раза: 34 · 4 = 136, а 34 · 5 = 170 уже слишком много. Вычитаем 136: 166 − 136 = 30.
3. Все цифры делимого использованы, поэтому 30 — остаток. Частное равно 44; остаток меньше 34, значит, деление закончено.

Ответ: 1526 : 34 = 44 (ост. 30). Проверка: 34 · 44 + 30 = 1496 + 30 = 1526.

Разделите 2375 на 46 и проверьте результат.

Числа 2 и 23 меньше 46, поэтому первую часть делимого выбираем равной 237. Она включает сотни, десятки и единицы, а первый разряд частного будет разрядом десятков. После определения цифры для этой части снесём последнюю цифру делимого и проверим, можно ли выделить ещё одну часть по 46.

1. Подбираем цифру: 46 · 5 = 230, а 46 · 6 = 276, что больше 237. Записываем 5 и вычитаем: 237 − 230 = 7.
2. Сносим последнюю цифру 5 к остатку 7. Получаем 75. Делитель 46 помещается в 75 один раз, поэтому записываем в частное 1. Вычитаем: 75 − 46 = 29.
3. Цифры делимого закончились, а 29 меньше 46. Значит, частное равно 51, остаток — 29; продолжать деление нельзя.

Ответ: 2375 : 46 = 51 (ост. 29). Проверка: 46 · 51 + 29 = 2346 + 29 = 2375.

Типичные ошибки

Иногда цифру частного записывают сразу после примерной оценки, не проверив её умножением на весь делитель. Из-за этого произведение может оказаться больше текущей части делимого, и вычитание даст отрицательную разность. Проверяй пробную цифру умножением; если произведение превышает текущую часть, уменьши цифру.

Ещё одна ошибка — сносить следующую цифру к исходной части делимого, а не к остатку после вычитания. Тогда теряется результат предыдущего шага, и вычисление перестаёт соответствовать делению по разрядам. Перед сносом найди разность, а следующую цифру приписывай именно к ней. Так можно сверить каждую новую часть делимого.

Если делитель не помещается в текущую часть, иногда пропускают ноль в частном. Это происходит потому, что кажется, будто ноль ничего не меняет, но он сохраняет место разряда. Без него последующие цифры сместятся и получится другое число. Проверь, соответствует ли каждая цифра частного разряду, в котором она была найдена.

Остаток, равный делителю или больший него, означает, что деление не закончено. Такое случается, если вычли недостаточно или выбрали слишком маленькую цифру частного. Сравни остаток с делителем: если он не меньше делителя, попробуй увеличить частное или продолжить деление. В завершённом делении остаток всегда меньше делителя.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно делить на двузначное число, нужно уметь делить многозначные числа на однозначное, умножать на двузначное число и вычитать столбиком. Эти действия входят в каждый шаг алгоритма: умножение проверяет пробную цифру, а вычитание помогает найти остаток. Если такие вычисления пока даются трудно, полезно отдельно потренировать их.

Этот способ пригодится при делении на многозначные числа, потому что общий порядок действий остаётся похожим: выделяют часть делимого, подбирают цифру частного и проверяют произведение. Деление используют и в текстовых задачах, когда целое нужно распределить на равные группы. Проверка умножением помогает убедиться в ответе и при других вычислениях.

Что запомнить

• Начинай деление с наименьшей части делимого, которая не меньше делителя.
• Каждую пробную цифру частного проверяй умножением на весь делитель.
• После вычитания сноси следующую цифру делимого к полученному остатку.
• Если делитель не помещается в текущую часть делимого, запиши в частном ноль в соответствующем разряде.
• Остаток при делении должен быть меньше делителя.
• Проверка деления с остатком: делитель · частное + остаток = делимое.