"Математика", Чекин А.Л.
Умножение числа на сумму записывают так: a · (b + c). Значение выражения можно найти двумя способами: сначала сложить числа в скобках и умножить результат или умножить общий множитель на каждое слагаемое, а произведения сложить. Второй способ называется распределительным свойством умножения относительно сложения. Он помогает считать удобнее, например разложить число на десятки и единицы. Какой бы способ ни выбрали, результат будет одинаковым.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение числа на сумму — действие вида a · (b + c), где число умножается на сумму нескольких слагаемых. Например, в записи 4 · (6 + 3) число 4 умножается на сумму 6 и 3. Скобки помогают увидеть, что множитель относится не к одному числу, а ко всей сумме. Поэтому перед вычислением нужно определить, какие числа заключены в скобки.
Распределительное свойство умножения относительно сложения — равенство a · (b + c) = a · b + a · c. Оно показывает, как заменить умножение на сумму умножением на отдельные слагаемые. Такая запись нужна, когда отдельные произведения находить проще, чем умножать на всю сумму. Например, сумму 23 можно представить как 20 + 3.
Множитель — число, на которое умножают сумму; его умножают на каждое слагаемое. В выражении 7 · (20 + 3) множитель равен 7, а слагаемые — 20 и 3. Это помогает не забыть, что число 7 нужно применить к обоим слагаемым. Если умножить его только на одно, получится другое выражение.
Скобки в записи суммы показывают, какие слагаемые нужно умножить на общий множитель. В выражении a · (b + c) они объединяют b и c в одну сумму. При раскрытии скобок каждый элемент этой суммы получает множитель a. Скобки можно убрать только после того, как записано умножение множителя на каждое слагаемое.
Представь, что нужно взять несколько одинаковых групп, в каждой из которых b предметов и ещё c предметов. Всего в одной группе b + c предметов, а в нескольких группах можно отдельно посчитать предметы первого и второго видов. Поэтому общий множитель относится к каждой части суммы: количество групп для b и для c одно и то же. Так становится понятным распределение множителя между слагаемыми.
Равенство a · (b + c) = a · b + a · c следует из самого смысла умножения. Можно сначала найти, сколько составляет одна сумма b + c, и взять её a раз. А можно взять a раз слагаемое b, отдельно взять a раз слагаемое c и сложить результаты. В обоих случаях считаются одни и те же предметы, поэтому значения выражений равны.
Порядок действий зависит от того, какой способ вычисления выбран. Если сначала находишь сумму в скобках, сложение выполняется до умножения, как требует порядок действий. Если применяешь распределительное свойство, сначала записываешь произведение общего множителя с каждым слагаемым, а затем складываешь. Это не противоречие: два порядка приводят к равному результату.
Распределительное свойство полезно, если сумму можно разложить на удобные части. Например, 23 — это 20 + 3, поэтому 7 · 23 можно посчитать как 7 · 20 + 7 · 3. Так отдельно получаются 140 и 21, которые легко сложить. Такой приём особенно удобен при устных вычислениях с десятками и единицами.
При раскрытии скобок каждому слагаемому нужно поставить в пару общий множитель. После этого находят все произведения и складывают их, потому что в скобках была сумма. Если слагаемых больше двух, правило действует так же: множитель относится к каждому из них. Проверить запись можно, сравнив её значение с исходным выражением.
В таблице собраны два равноправных способа. Сначала выбери, какой из них позволит проще выполнить вычисления, затем проверь результат другим способом, если это удобно. В обоих случаях ответ должен совпасть.
| Способ | Действия | Запись | Пример |
|---|---|---|---|
| Сначала найти сумму | Сложить слагаемые в скобках, затем умножить результат на число | a · (b + c) | 7 · (20 + 3) = 7 · 23 = 161 |
| Применить распределительное свойство | Умножить число на каждое слагаемое и сложить произведения | a · (b + c) = a · b + a · c | 7 · (20 + 3) = 7 · 20 + 7 · 3 = 161 |
Задача 1. Вычислите 4 · (6 + 3), сначала найдя сумму в скобках. Здесь просят использовать прямой порядок: сначала выяснить, сколько составляет сумма 6 и 3. Затем результат нужно умножить на 4. Такой способ удобен, потому что сложение внутри скобок простое.
Ответ: 36. Мы сначала нашли значение суммы, а потом взяли это число четыре раза. Скобки помогли определить, какое действие нужно выполнить перед умножением. Полученный ответ относится ко всему исходному выражению.
Задача 2. Вычислите 8 · (30 + 5), применив распределительное свойство. В скобках десятки и единицы, и каждое слагаемое удобно умножить на 8 отдельно. При этом нельзя оставить без множителя ни 30, ни 5. После умножения двух частей их результаты складывают.
Ответ: 280. Мы заменили умножение на сумму двумя умножениями и сложением. Проверка другим способом даёт тот же результат: 30 + 5 = 35, а 8 · 35 = 280. Совпадение подтверждает, что множитель распределён верно.
Задача 3. Вычислите удобным способом 25 · (16 + 4). Здесь можно применить любое из двух правил, поэтому сначала оценим, какой путь короче. Сумма 16 + 4 сразу превращается в круглое число 20. Распределительное свойство тоже подходит, но придётся отдельно найти два произведения.
Ответ: 500. Первый способ оказался удобнее, потому что сумма стала круглым числом, которое легко умножить. Второй способ дал такой же результат и подтвердил вычисление. Выбор способа не меняет значения выражения, а только упрощает счёт.
Первая ошибка — умножить общий множитель только на первое слагаемое. Её допускают, когда раскрывают скобки слишком быстро и не проверяют, что именно объединено ими. Например, вместо a · (b + c) = a · b + a · c записывают только a · b и теряют часть суммы. Проверь себя: у каждого слагаемого в скобках должна быть пара с общим множителем.
Вторая ошибка — записать a · (b + c) как a · b + c. Здесь второе слагаемое c осталось без умножения на a, поэтому равенство обычно неверно. Так происходит, если скобки убирают, но не распределяют множитель до конца. Для проверки подставь простые числа и сравни значения обеих частей.
Третья ошибка — после раскрытия скобок вычесть или перемножить полученные произведения. Это путает действие, которое было между слагаемыми в скобках: там стояло сложение. Поэтому после умножения каждого слагаемого результаты складывают. Проверь знак между слагаемыми в исходной записи, прежде чем завершать вычисление.
Четвёртая ошибка — считать, что распределительное свойство меняет значение выражения. На самом деле оно заменяет исходную запись равной ей: умножение на сумму можно представить суммой произведений. Ошибка часто возникает, если воспринимать раскрытие скобок как новое действие, а не как преобразование. Чтобы проверить себя, вычисли выражение до и после преобразования: ответы должны совпасть.
Для работы с умножением числа на сумму нужно уметь находить суммы и произведения, а также соблюдать порядок действий в выражениях со скобками. Эти навыки помогают выбрать способ вычисления и не перепутать, какое действие выполнять первым. Распределительное свойство пригодится при устных вычислениях, когда число удобно разложить на части. Оно также используется при упрощении числовых выражений и раскрытии скобок в буквенных выражениях.
Как умножить число на сумму?
Можно сначала сложить слагаемые в скобках, а затем умножить сумму на число. Или умножить число на каждое слагаемое отдельно и сложить полученные произведения.
Почему общий множитель нужно умножить на каждое слагаемое?
Сумма задаёт несколько частей, и общий множитель относится ко всей сумме. Если умножить только одно слагаемое, часть выражения останется без учёта, поэтому значение изменится.
Можно ли сначала вычислить сумму в скобках?
Да. Сначала выполняют действие в скобках, затем умножают полученную сумму на число. Этот порядок часто удобен, если сумму легко найти.
Как проверить, правильно ли раскрыты скобки?
Убедись, что общий множитель умножен на каждое слагаемое, а полученные произведения сложены. Для проверки можно вычислить исходное выражение со скобками и сравнить результат.
Когда удобнее применять распределительное свойство?
Применяй его, когда слагаемые удобно умножать отдельно: например, если сумму можно представить как десятки и единицы. Если сама сумма считается легко, проще сначала вычислить её в скобках.
Умножение числа на сумму
