"Математика (в 2 книгах)", Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В.
Умножение числа на сумму позволяет заменить одно действие несколькими произведениями: каждое слагаемое в скобках умножают на число перед скобками. Это правило помогает считать удобнее, например представить 13 как 10 + 3 и вычислить 7·13 как 70 + 21. Главное — не пропустить ни одного слагаемого и сохранить один и тот же множитель в каждом произведении.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение числа на сумму — действие, при котором число умножают на выражение в скобках, являющееся суммой двух или нескольких слагаемых. Например, в записи 4·(3 + 2) число 4 умножается на сумму 3 и 2. Такое выражение удобно, когда нужно повторить несколько групп, каждая из которых состоит из разных частей.
Распределительное свойство умножения относительно сложения — правило a(b + c) = ab + ac. Буквы обозначают числа: множитель a умножается и на b, и на c, а полученные произведения складываются. Это свойство позволяет заменить умножение на сумму сложением отдельных произведений.
Раскрытие скобок — замена произведения числа на сумму суммой произведений этого числа на каждое слагаемое. Так, 5(2 + 7) можно записать как 5·2 + 5·7. Приём нужен и для вычислений, и для преобразования выражений с буквами.
Разложение числа на сумму — представление числа в виде суммы удобных слагаемых, например 18 = 10 + 8. Слагаемые выбирают так, чтобы умножать на них было проще. Это помогает заменить трудное вычисление несколькими более простыми, не меняя значения выражения.
Представим, что в каждой из a одинаковых групп есть b предметов одного вида и c предметов другого вида. Всего предметов в одной группе b + c, поэтому во всех группах их a(b + c). Но можно отдельно посчитать предметы каждого вида: первых будет ab, вторых — ac. Общий результат тогда равен ab + ac, поэтому a(b + c) = ab + ac.
Это рассуждение можно показать на предметах или на прямоугольнике. Если прямоугольник разбить на две части с ширинами b и c и общей высотой a, площадь целого равна a(b + c). Площади частей равны ab и ac, а площадь целого равна сумме площадей частей. Модель показывает, почему произведение распределяется по слагаемым, а не просто предлагает запомнить правило.
Применяя правило, нужно умножить множитель перед скобками на каждое слагаемое внутри них. Например, 6(4 + 3) = 6·4 + 6·3. Число 6 остаётся в обоих произведениях, потому что оно относится ко всей сумме и повторяет каждую её часть. Если в скобках три слагаемых, получится три произведения: a(b + c + d) = ab + ac + ad.
Для вычисления можно сначала представить один из множителей как сумму. Например, 7·13 удобно считать как 7·(10 + 3), потому что умножение на 10 и на 3 легко выполнить отдельно. Получаем 7·10 + 7·3 = 70 + 21 = 91. Разложение выбирают не случайно: оно должно давать исходное число и упрощать вычисления.
Результаты до и после раскрытия скобок совпадают, потому что изменяется только способ подсчёта одних и тех же частей. В модели предметов можно посчитать сначала все предметы в группе, а потом повторить группу нужное число раз. Можно также посчитать отдельно каждую разновидность во всех группах и сложить результаты. Оба способа учитывают одни и те же предметы, поэтому дают одно и то же число.
| Ситуация | Запись | Преобразование | Пример |
|---|---|---|---|
| Число умножается на сумму двух слагаемых | a(b + c) | ab + ac | 6(4 + 3) = 6·4 + 6·3 |
| Число умножается на сумму нескольких слагаемых | a(b + c + d) | ab + ac + ad | 2(5 + 4 + 1) = 2·5 + 2·4 + 2·1 |
| Разложение числа на удобные слагаемые | a·n, где n = b + c | a·n = a(b + c) = ab + ac | 7·13 = 7(10 + 3) = 70 + 21 |
Найдите в записи множитель перед скобками и перечислите слагаемые внутри них. Каждому слагаемому должна соответствовать отдельная часть произведения с тем же множителем. В последней строке таблицы сначала проверяют разложение числа, а затем считают полученные произведения.
Сначала можно выполнить действие в скобках, а затем умножить результат на 3. Второй способ — раскрыть скобки и умножить 3 отдельно на каждое слагаемое. Сравнение покажет, что правило сохраняет значение выражения.
Ответ: 18 в обоих случаях.
Умножать 7 на 13 можно напрямую, но разложение 13 на десяток и единицы делает вычисление проще. Проверим, что сумма 10 + 3 действительно равна 13. Затем применим распределительное свойство и сложим частичные результаты.
Ответ: 91.
В одном ряду есть две части: 12 больших и 5 маленьких стульев. Таких рядов 8, значит, количество стульев в каждом ряду нужно повторить восемь раз. Сначала запишем общее количество через сумму, затем посчитаем каждый вид отдельно.
Ответ: в зале 136 стульев.
Можно умножить множитель только на первое слагаемое и забыть остальные: например, записать 3(4 + 2) как 3·4 + 2. Так происходит, если смотреть на скобки как на одно целое и не проследить каждую часть суммы. Проверьте: каждому слагаемому в скобках должно соответствовать произведение с множителем перед скобками.
Другая ошибка — записать a(b + c) = ab + c. В таком ответе второе слагаемое осталось без умножения на a, хотя число повторов относится и к нему. Чтобы проверить запись, посмотрите на оба получившихся произведения: множитель a должен присутствовать в каждом.
Иногда при раскрытии скобок знак сложения по ошибке заменяют вычитанием и получают ab − ac. Причина — смешение правил или невнимательное переписывание знака из исходного выражения. Сверьте знак: при исходной сумме слагаемые складываются; никакое вычитание не появится без основания.
При разложении числа можно потерять слагаемое или неверно представить само число, например принять 13 за 10 + 2. Тогда вычисление по правилу будет выполнено правильно, но для другого числа. Перед умножением сложите выбранные части и убедитесь, что получили исходный множитель: 10 + 3 = 13.
Для работы с правилом нужны смысл умножения, таблица умножения, сложение и умение читать выражения со скобками. Эти знания помогают понять, что именно повторяется и какие действия следует выполнить. Распределительное свойство пригодится для устных вычислений и представления чисел в виде удобных сумм. Позже его используют при раскрытии скобок в буквенных выражениях и решении уравнений.
Почему число нужно умножать на каждое слагаемое?
Сумма обозначает несколько частей, и число раз относится к каждой из них. Если умножить только на одно слагаемое, остальные части суммы не будут учтены. Поэтому a(b + c) = ab + ac.
Можно ли применять это правило, если в скобках больше двух слагаемых?
Да, множитель умножают на каждое слагаемое. Например, a(b + c + d) = ab + ac + ad. После этого полученные произведения складывают.
Как не забыть множитель при раскрытии скобок?
Проверьте, что перед каждым слагаемым из скобок записано умножение на исходный множитель. Можно мысленно провести от множителя отдельную связь к каждому слагаемому. Затем сравните число произведений с числом слагаемых.
Как выбрать удобное разложение числа на сумму?
Выбирайте такие слагаемые, произведения с которыми легко найти. Часто число представляют как сумму десятков и единиц, например 13 = 10 + 3. При этом сумма слагаемых обязательно должна равняться исходному числу.
Чем отличается умножение числа на сумму от сложения произведений?
Умножение числа на сумму записывают как a(b + c), а сложение произведений — как ab + ac. По распределительному свойству эти выражения равны, но в первом сначала видна сумма в скобках, а во втором — отдельные произведения.
Умножение числа на сумму
