"Математика", Чекин А.Л.
Круглое двузначное число оканчивается нулём: например, 20, 50 или 90. Его удобно представить как произведение числа десятков и 10: 40 = 4 · 10. Поэтому при умножении на 40 сначала находят произведение на 4, а затем увеличивают его в 10 раз. Такой приём помогает считать быстрее, не терять разряд и проверять результат оценкой: при умножении на 40 ответ должен быть в 40 раз больше исходного числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Круглое двузначное число — это двузначное число, которое оканчивается нулём, например 20, 50 или 90. Такие числа называют круглыми десятками: в них нет единиц, а количество десятков показывает первая цифра. Это определение помогает быстро увидеть, на сколько десятков нужно умножить число.
Десяток — единица второго разряда в записи числа. Например, 30 — это 3 десятка, или 3 · 10, а 50 — это 5 десятков. Понимание разрядов объясняет, почему в круглой десятке есть множитель 10 и почему его нельзя забывать при вычислении.
Умножение на круглое двузначное число — это вычисление, при котором сначала умножают на число десятков, а затем на 10. Например, умножение на 40 можно выполнить как умножение на 4 с последующим умножением результата на 10. Такой способ разбивает непривычное действие на два более простых шага.
Круглое двузначное число можно представить как произведение числа десятков и 10. Например, 40 = 4 · 10, потому что четыре десятка составляют сорок. Такое представление нужно, чтобы заменить умножение на круглое число двумя простыми действиями: сначала умножить на однозначное число, затем на 10.
Запись a · 40 можно преобразовать так: a · (4 · 10) = (a · 4) · 10. Это следует из сочетательного свойства умножения: если множителей несколько, их можно объединять в группы, не меняя результата. Поэтому сначала находят a · 4, а уже потом умножают полученное произведение на 10.
При умножении натурального числа на 10 каждая его единица становится десятью единицами более низкого разряда, то есть число увеличивается в десять раз. В привычной записи для целого числа это видно по появлению нуля в разряде единиц: 46 · 10 = 460. Ноль здесь не добавляется произвольно — он показывает, что разрядное значение числа стало в десять раз больше.
Вычисление выполняют по порядку: выделяют число десятков в множителе, умножают на него первый множитель и затем умножают результат на 10. Например, для умножения на 60 сначала считают произведение на 6, а после него — на 10. Если остановиться после первого действия, будет найдено произведение на 6, а не на 60.
Правдоподобие ответа проверяют по смыслу умножения. Если число умножают на 40, произведение должно быть в 40 раз больше исходного числа, а не в 4 раза. Можно сначала сравнить его с промежуточным результатом: окончательный ответ должен быть в десять раз больше произведения на 4. Эта оценка помогает заметить пропущенный множитель 10 или ошибку в записи.
| Множитель | Представление в виде числа десятков | Промежуточное умножение | Умножение результата на 10 |
|---|---|---|---|
| 20 | 2 десятка = 2 · 10 | a · 2 | (a · 2) · 10 |
| 30 | 3 десятка = 3 · 10 | a · 3 | (a · 3) · 10 |
| 50 | 5 десятков = 5 · 10 | a · 5 | (a · 5) · 10 |
| 80 | 8 десятков = 8 · 10 | a · 8 | (a · 8) · 10 |
Найди в таблице нужный множитель и посмотри, сколько в нём десятков. Выполни промежуточное умножение, а затем умножь полученное число на 10. Буква a обозначает число, которое умножают на круглую десятку.
Задача 1. Вычисли 23 · 20. Представим 20 как 2 · 10, чтобы не умножать сразу на двузначное число. Сначала найдём произведение на 2, а затем учтём десяток. Так проще проверить, что ни один разряд не потерян.
Ответ: 460. При умножении на 20 число должно увеличиться в 20 раз. Промежуточное произведение 46 нужно было увеличить ещё в десять раз, поэтому ответ 460 соответствует условию.
Задача 2. Вычисли 46 · 30 и объясни каждый шаг записи. В числе 30 содержится 3 десятка, поэтому его заменяем произведением 3 · 10. Сначала считаем умножение на 3, а затем умножаем получившееся число на 10. Запись показывает обе части множителя 30.
Ответ: 1380. На шаге 46 · 3 учитываются только три десятка по счёту, а не их разрядное значение. Последнее умножение на 10 превращает 138 в 1380 и даёт произведение именно на 30.
Задача 3. Вычисли 125 · 40 удобным способом и проверь ответ оценкой. Число 40 — это 4 · 10, поэтому сначала найдём 125 · 4. Затем умножим промежуточный результат на 10. Для проверки посмотрим, действительно ли окончательный ответ в 40 раз больше 125.
Ответ: 5000. Произведение 125 · 4 равно 500, а умножение на 10 даёт 5000. Значит, в вычислении учтены и четыре, и десять, из которых складывается множитель 40.
Забывают умножить промежуточный результат на 10. Например, вычислив 23 · 2 = 46 для примера 23 · 20, останавливаются и записывают 46. Так происходит, когда число десятков принимают за весь множитель. Проверь себя: ответ должен быть в 20 раз, а не в 2 раза больше 23.
Приписывают ноль к первому множителю до умножения на число десятков. Например, в 23 · 20 сначала превращают 23 в 230, а затем умножают на 2, получая число в десять раз больше нужного. Ошибка возникает из-за смешения двух шагов: умножения на число десятков и умножения на 10. Сверь действие с равенством 23 · 20 = 23 · 2 · 10.
Путают число десятков с числом единиц в круглой десятке. В множителе 60 берут 6, но не учитывают, что это именно 6 десятков. В результате находят произведение на 6, а не на 60. Чтобы проверить себя, сравни ответ с первым множителем: он должен стать в 60 раз больше.
Не замечают, что ответ меньше первого множителя. Это возможно при ошибке в счёте, хотя умножают на круглое число больше 1. Иногда такой ответ записывают, не оценивая его величину. Перед тем как считать задачу законченной, сравни произведение с исходным числом и проверь, что оно увеличилось в нужное число раз.
Для этого способа нужны знание таблицы умножения и умение умножать натуральное число на 10. Он опирается на разрядный состав числа: круглые десятки представляют как несколько десятков. Сочетательное свойство умножения позволяет сгруппировать множители удобным образом. Этот приём пригодится при письменном умножении многозначных чисел и вычислениях с числами, оканчивающимися нулями.
Почему при умножении на 30 сначала умножают на 3?
Потому что 30 — это 3 десятка, то есть 3 · 10. Сначала удобно найти произведение на 3, а затем умножить его на 10.
Почему после умножения на число десятков нужно ещё умножать на 10?
Число десятков — только часть множителя: например, 30 состоит из 3 и 10. Если умножить лишь на 3, произведение будет в 10 раз меньше нужного.
Нужно ли всегда приписывать ноль к первому множителю?
Нет, ноль приписывают не к первому множителю, а к результату его умножения на число десятков. Например, 23 · 20 = 23 · 2 · 10 = 46 · 10 = 460.
Как проверить, что в произведении учтены десятки?
Оцени, во сколько раз ответ должен быть больше первого множителя. При умножении на 50 произведение должно быть в 50 раз больше; можно также сравнить ответ с результатом умножения только на 5.
Можно ли менять порядок множителей при вычислении?
Да, от перестановки множителей произведение не меняется: 23 · 20 = 20 · 23. Но способ «сначала число десятков, затем 10» часто удобен для устного и письменного счёта.
Умножение на «круглое» двузначное число
