Умножение на число 10

Определения и обозначения

Умножение на 10 — действие, при котором число увеличивается в десять раз. В записи 6 · 10 = 60 число 6 — множимое, то есть число, которое умножают, а 10 — множитель, показывающий, сколько раз его берут. Число 60 называется произведением и является результатом умножения.

Разряд — место цифры в записи числа, определяющее её значение. Например, в числе 352 цифра 2 стоит в разряде единиц, 5 — в разряде десятков, а 3 — в разряде сотен. Понимание разрядов помогает увидеть, почему одна и та же цифра может обозначать разное количество: в числе 352 цифра 5 означает пять десятков, а не пять единиц.

Разрядная единица — единица, соответствующая определённому разряду: 1 — единица, 10 — десяток, 100 — сотня, дальше следуют 1000 и другие. Каждый следующий разряд содержит в десять раз более крупные единицы, чем предыдущий. Поэтому при умножении на 10 единицы переходят в десятки, десятки — в сотни, а цифры в записи перемещаются на следующий разряд.

Как это устроено

Умножение числа на 10 означает, что мы берём это число десять раз. Например, 4 · 10 — это десять четвёрок: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 40. Получилось число, в десять раз больше исходного: в нём 40 единиц вместо 4. Умножение и сложение здесь дают один и тот же результат, потому что сложены десять одинаковых слагаемых.

Причину изменения записи можно понять по разрядам. Возьмём число 23: в нём 2 десятка и 3 единицы. При умножении на 10 каждый из 3 единичных элементов становится десятком, а каждый из 2 десятков — сотней. Получается 2 сотни и 3 десятка, то есть 230: цифры 2 и 3 заняли места на один разряд левее. Так происходит с каждой цифрой натурального числа, поскольку значение каждой разрядной единицы при умножении на 10 становится в десять раз больше.

Из перехода разрядов следует короткое правило: чтобы умножить натуральное число на 10, припиши справа один ноль. Например, цифра 3 в числе 23 обозначает 3 единицы, а после умножения — 3 десятка; цифра 2 вместо десятков обозначает сотни. Ноль справа показывает, что в новом числе нет единиц, и сохраняет правильные места цифр. Поэтому 23 · 10 = 230.

Если множимое уже оканчивается нулями, они остаются на месте и к записи добавляется ещё один ноль. Например, 240 состоит из 24 десятков, а десять раз по 24 десятка — это 24 сотни, или 2400. Значит, 240 · 10 = 2400: прежний ноль не исчезает, а новый показывает переход к следующему разряду. То же правило действует для любого натурального числа с нулями в конце.

Результат можно проверить обратным действием — делением на 10. Например, если получилось 230, раздели это число на 10: 230 : 10 = 23. Возвращение к исходному множимому показывает, что умножение выполнено верно. Если после деления вышло другое число, проверь, не пропущен ли ноль и не добавлен ли лишний.

Умножение натурального числа на 10

В таблице показано, как правило работает для разных видов множимого. Смотри на число нулей в его записи и сравнивай его с произведением. В каждом случае к натуральному числу справа добавляется один ноль, а уже имеющиеся нули сохраняются.

Разбор задач

Вычисли 7 · 10.

Множимое — 7, а множитель — 10, поэтому нужно найти число, которое в десять раз больше семи. Для натурального числа можно воспользоваться правилом: приписать справа ноль. Затем проверим, что результат действительно больше исходного в десять раз.

1. Записываем множимое: 7.
2. Приписываем справа один ноль: 70.
3. Проверяем: 70 : 10 = 7, значит, вернулись к исходному числу.

Ответ: 70.

Вычисли 306 · 10.

Число 306 состоит из 3 сотен, 0 десятков и 6 единиц. При умножении на 10 сотни становятся тысячами, десятки — сотнями, а единицы — десятками. Поэтому цифры сдвигаются на один разряд влево, а справа появляется ноль, сохраняющий новое место цифр.

1. Записываем число 306.
2. Приписываем справа ноль: 3060.
3. Проверяем разряды: 3 тысячи, 0 сотен и 6 десятков — это 3060.

Ответ: 3060.

Вычисли 240 · 10 и проверь ответ делением на 10.

В записи 240 уже есть ноль в конце, и его нельзя убирать: он показывает, что в числе нет единиц. При умножении каждая цифра переходит на следующий разряд, поэтому к существующей записи добавляется ещё один ноль. После вычисления разделим произведение на 10 и проверим, получили ли исходное число.

1. Записываем множимое: 240.
2. Приписываем справа один ноль: 2400.
3. Выполняем проверку: 2400 : 10 = 240.

Ответ: 2400.

Типичные ошибки

Иногда ноль приписывают слева: например, записывают 7 · 10 как 07. Так ошибаются, потому что запоминают только появление нуля и не учитывают направление разрядов. Запись 07 обозначает то же число, что и 7, а не число в десять раз больше. Проверь вычисление делением: 7 : 10 не вернёт результат умножения 7 на 10.

Другая ошибка — потерять нули, уже стоявшие в конце множимого: например, написать 240 · 10 = 240. Это происходит, если ученик видит ноль только как добавку и забывает сохранить исходную запись числа. В результате число не становится в десять раз больше. Раздели предполагаемое произведение на 10: если не получается 240, ответ неверен.

Короткое правило с приписыванием нуля относится к натуральным числам, но его иногда применяют без проверки к любому числу. Для чисел с запятой запись может изменяться иначе: например, 2,5 · 10 = 25, а не 2,50. Ошибка возникает, когда знакомое правило переносят на числа другого вида. Сначала определи, натуральное ли число дано, а затем проверь результат делением на 10.

Умножение на 10 путают с прибавлением 10: например, для 7 получают 17 вместо 70. Причина в том, что оба действия связаны с числом 10, но выполняются по-разному: при сложении добавляют десять единиц, а при умножении берут исходное число десять раз. Сравни вычисления: 7 + 10 = 17, тогда как 7 · 10 = 70. Проверка 70 : 10 = 7 подтверждает результат умножения.

Связь с другими темами

Чтобы понять умножение на 10, нужно уметь читать десятичную запись натуральных чисел и определять значение цифры по её разряду. Например, в числе 352 цифра 5 означает пять десятков, а не пять единиц. Это знание позволяет объяснить, почему при умножении цифры перемещаются влево, а не просто заучить правило о нуле.

То же рассуждение пригодится при умножении на 100 и 1000: тогда разрядные единицы переходят на два или три разряда. Оно также помогает вычислять произведения с разрядными единицами, такими как десятки и сотни, и оценивать, насколько увеличится число. Понимание разрядов делает эти действия продолжением уже знакомого правила.

Что запомнить

• Умножить число на 10 — значит увеличить его в десять раз.
• При умножении натурального числа на 10 его цифры переходят на один разряд влево.
• Чтобы умножить натуральное число на 10, приписывают справа один ноль.
• Нули, которые уже были в конце множимого, сохраняются.
• Проверить умножение на 10 можно делением произведения на 10.