"Математика", Чекин А.Л.
Ломаная линия состоит из отрезков, соединённых концами, а каждый такой отрезок называется её звеном. Длина ломаной показывает, сколько нужно пройти вдоль всех её звеньев от начала до конца. Чтобы её найти, измеряют длину каждого звена и складывают полученные значения. Это правило действует и для замкнутой ломаной: в сумму включают все звенья, в том числе последнее. Оно помогает вычислять периметр многоугольника и решать задачи с измерениями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Ломаная линия — линия, состоящая из отрезков, соединённых последовательно концами. Например, если один отрезок заканчивается там, где начинается следующий, они образуют часть ломаной. Это понятие помогает описывать путь, который меняет направление в точках соединения.
Звено ломаной — один из отрезков, из которых она составлена. Если обозначить последовательные вершины буквами A, B, C и D, то звеньями будут AB, BC и CD. Такое обозначение позволяет перечислить отрезки и не забыть ни один при вычислении длины.
Вершина ломаной — точка, в которой соединяются соседние звенья; вершинами считают и концы ломаной. В примере ABCD вершинами являются A, B, C и D: B и C соединяют звенья, а A и D отмечают концы. Названия вершин помогают указать порядок, в котором идут отрезки.
Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев. Для ломаной ABCD её можно записать так: AB + BC + CD, где каждое обозначение означает длину соответствующего отрезка. Такое определение превращает измерение всей линии в задачу о сложении отдельных длин.
Ломаная образуется, когда несколько отрезков ставят так, чтобы конец одного совпадал с началом следующего. Например, можно последовательно соединить точки A, B, C и D: получится линия ABCD со звеньями AB, BC и CD. Если двигаться по ней от A, сначала проходишь AB, затем BC, затем CD, поэтому порядок вершин показывает путь и помогает перечислить все его части.
Длину ломаной находят сложением, потому что путь состоит из отдельных участков, которые проходят один за другим. Чтобы добраться от первого конца до последнего по самой ломаной, нужно пройти каждое звено целиком. Значит, общий путь складывается из длин пройденных отрезков; расстояние по прямой между концами не заменяет эту сумму.
Обозначения позволяют записать вычисление кратко и без пропусков. Для ломаной ABCD длина равна AB + BC + CD, то есть сумме длин её звеньев. Если AB = 3 см, BC = 4 см и CD = 2 см, запись принимает вид 3 см + 4 см + 2 см = 9 см. Буквы показывают, какие именно отрезки нужно измерить и сложить.
Для вычисления нужно знать длину каждого звена: если хотя бы одно значение неизвестно, точную сумму пока нельзя найти. Кроме того, слагаемые должны быть выражены в одинаковых единицах, потому что сантиметры и миллиметры нельзя складывать как обычные числа без перевода. Например, 2 см — это 20 мм; значит, 2 см + 5 мм можно вычислить как 20 мм + 5 мм = 25 мм.
Замкнутая ломаная начинается и заканчивается в одной точке, но правило вычисления её длины остаётся тем же. При движении по границе нужно пройти все отрезки, включая последнее, которое соединяет конец пути с его началом. Поэтому для замкнутой ломаной перечисляют каждое звено по кругу и складывают все соответствующие длины; так, периметр многоугольника находят именно этим способом.
| Что рассматриваем | Что измеряем | Как находим длину |
|---|---|---|
| Отрезок | Сам отрезок | Определяем его длину измерением |
| Ломаная из нескольких звеньев | Каждое звено | Складываем длины всех звеньев |
| Замкнутая ломаная | Каждое звено, включая последнее | Складываем длины всех звеньев по кругу |
Сначала определите, какие отрезки входят в рассматриваемую линию, а затем измерьте каждый из них. Сравните единицы и при необходимости переведите значения к одной. После этого сложите длины и проверьте, что в записи учтены все звенья.
Задача 1. Ломаная состоит из двух звеньев длиной 3 см и 5 см. Найдём её длину. Здесь уже даны длины обоих звеньев, и обе они выражены в сантиметрах, поэтому переводить единицы не нужно. Достаточно сложить значения, не добавляя и не пропуская отрезки.
Ответ: 8 см. Проверка: результат больше каждого из двух слагаемых, как и должно быть при сложении положительных длин. В сумме использованы оба звена.
Задача 2. Длины трёх звеньев ломаной равны 2 см, 4 см и 6 см. Требуется найти длину всей линии. Удобно выписать все три значения по порядку, чтобы заметить, если при сложении какое-то звено потерялось. Единицы измерения совпадают, поэтому вычисляем сразу в сантиметрах.
Ответ: 12 см. Можно проверить сложение иначе: 2 + 4 + 6 = 12. В записи присутствуют все три исходных значения, а сантиметры сохраняются, поскольку слагаемые выражены в них.
Задача 3. Замкнутая ломаная имеет звенья длиной 15 мм, 2 см, 25 мм и 1 см. Найдём её длину, учитывая все четыре звена, в том числе замыкающее. Сначала удобно привести значения к миллиметрам: 2 см = 20 мм, а 1 см = 10 мм. После этого можно сложить только числа с одинаковой единицей.
Ответ: 70 мм, или 7 см. Проверка: сложены четыре значения — по одному для каждого звена замкнутой ломаной. Если не учесть последнее звено, сумма окажется меньше на его длину.
Иногда складывают длины не всех звеньев, потому что теряют отрезок при подсчёте или переписывают данные не полностью. Тогда результат получается меньше настоящей длины. Чтобы проверить себя, обозначьте вершины по порядку, перечислите отрезки и сверьте число слагаемых с количеством звеньев.
У замкнутой ломаной могут не учитывать последнее звено, соединяющее конец с началом. Поскольку линия замкнута, этот отрезок легко принять за уже пройденную часть или вовсе забыть. Проверьте, что, двигаясь по контуру от выбранной вершины, вы вернулись к ней и учли отрезок, который замкнул путь.
Складывать значения в разных единицах без перевода нельзя: например, 2 см + 5 мм — это не 7 см и не 7 мм. Ошибка возникает, когда складывают числа, не обращая внимания на подписи единиц. Переведите длины в миллиметры или сантиметры, выполните сложение и запишите единицу результата.
Длину ломаной иногда принимают за расстояние между её концами. Так происходит, если смотрят только на начальную и конечную точки и не учитывают изгибы пути. Проверьте, что вы сложили все звенья; прямое расстояние измеряется отдельным отрезком и обычно короче пути по ломаной.
До изучения темы нужно уметь измерять длину отрезка и складывать именованные числа — числа, записанные вместе с единицами измерения. Эти умения нужны, чтобы получить длину каждого звена и правильно найти сумму. Если звенья измерены в разных единицах, помогает знание соотношений между единицами длины.
Правило пригодится при вычислении периметра многоугольника: его границу можно представить как замкнутую ломаную. Для периметра складывают длины всех сторон, не забывая сторону, которая замыкает контур. Перевод единиц длины позволяет решать такие задачи, даже если измерения записаны по-разному.
Что называют ломаной линией?
Ломаная линия — это линия из нескольких отрезков, соединённых последовательно концами. Отрезки называются звеньями, а точки их соединения и концы линии — вершинами.
Как найти длину ломаной?
Нужно сложить длины всех её звеньев. Перед сложением проверьте, что каждое звено учтено, а длины выражены в одинаковых единицах.
Нужно ли учитывать последнее звено замкнутой ломаной?
Да, последнее звено обязательно входит в сумму. Оно соединяет конец ломаной с её началом, но от этого не перестаёт быть звеном.
Что делать, если длины звеньев даны в разных единицах?
Сначала переведите все длины в одну единицу, например в сантиметры или миллиметры. Затем сложите значения и при необходимости переведите результат в другую единицу.
Может ли длина ломаной совпасть с расстоянием между её концами?
Да, например, если ломаная состоит из одного отрезка, её длина равна расстоянию между концами. Если звеньев несколько, длина пути по ломаной обычно больше прямого расстояния между её концами.
Длина ломаной линии
