"Математика", Чекин А.Л.
В задаче часть чисел уже дана, а одно или несколько значений требуется найти. Данные числа называют известными, а искомые — неизвестными. Чтобы ясно записать условие и ход решения, неизвестное обозначают буквой или специальным знаком и связывают с известными числами равенством. По смыслу действий составляют запись, находят значение неизвестного и проверяют ответ подстановкой. Этот способ помогает рассуждать и решать задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Известное число — число, значение которого уже дано в условии или найдено ранее. Например, в задаче «было 7 яблок, добавили несколько» число 7 известно. Оно служит опорой для рассуждения и помогает понять, какие действия нужно выполнить.
Неизвестное число — число, значение которого требуется определить. Если к 7 яблокам добавили ещё несколько и стало 12, число добавленных яблок неизвестно. Выделив искомое, легче не перепутать его с данными условия и понять цель решения.
Буквенное обозначение — буква, используемая вместо неизвестного числа. Например, число добавленных яблок можно обозначить буквой x. Такое обозначение позволяет записать условие кратко и рассуждать о числе, даже пока его значение ещё не найдено.
Равенство с неизвестным — запись, в которой неизвестное число связано с известными числами действиями. Например, для ситуации с яблоками подходит равенство 7 + x = 12. Оно точно выражает связь между данными и искомым и помогает выбрать способ решения.
Чтобы отличить данные от искомого, прочитай условие и отдельно сформулируй вопрос: что именно нужно узнать? Числа, значения которых уже сообщены, относятся к известным; число, о котором задают вопрос, — неизвестное. Например, если известно, сколько было предметов и сколько стало, а спрашивают, сколько добавили, эти два количества известны, а добавленное количество неизвестно. Такое разделение не даёт случайно искать то, что уже дано.
Неизвестное удобно обозначать буквой или знаком, потому что так его можно включить в запись, не зная значения заранее. Буква занимает определённое место в равенстве, а остальные числа показывают, с чем и как связано искомое. Например, запись 7 + x = 12 читается как «к семи прибавили неизвестное число и получили двенадцать». Благодаря ей рассуждение становится короче и понятнее, чем повторение длинного условия.
Связь между числами устанавливают по смыслу действия и словам условия. Если к числу прибавили другое и получили результат, записывают сложение; если часть количества убрали, используют вычитание. Слова «в несколько раз больше» обычно указывают на умножение, а деление помогает описать равное распределение или сравнение величин. Сначала важно понять, что произошло с величинами, а уже затем выбирать знак действия.
Найденное значение нужно подставить в исходное равенство, потому что вычисления могли содержать ошибку, а само равенство — быть составлено неверно. Если после подстановки обе части равны, ответ согласуется с записью. Например, при x = 5 в равенстве 7 + x = 12 получаем 7 + 5 = 12. Если равенство не выполняется, нужно проверить решение и перевод условия в запись.
Одну ситуацию можно описать по-разному: словами, схемой, числовым равенством или равенством с буквой. Например, рассказ «к семи предметам добавили неизвестное количество и стало двенадцать» можно показать схемой из частей 7 и x, а затем записать как 7 + x = 12. Если количество уже известно, вместо буквы можно поставить число и получить числовое равенство. Разные формы описывают одну и ту же связь, поэтому переход между ними помогает не потерять смысл задачи.
| Элемент записи | Что известно | Что требуется найти | Как обозначается | Пример |
|---|---|---|---|---|
| Числовые данные | Значения, указанные в условии | Не требуется находить | Числами | 7 и 12 в записи 7 + □ = 12 |
| Неизвестное число | Его значение пока не дано | Значение искомого числа | Буквой или знаком | x или □ |
| Связь между числами | Действие и его результат | Искомое связано с данными | Равенством | 7 + x = 12 |
| Проверка найденного значения | Исходное равенство | Нужно выяснить, подходит ли ответ | Подстановкой | 7 + 5 = 12 |
Сначала найди в строке таблицы, что именно требуется определить: данные, неизвестное или связь между числами. Затем сравни обозначения и примеры с условием своей задачи. Последняя строка напоминает, что найденное число нужно проверить в исходной записи.
В равенстве 7 + □ = 12 нужно определить, какое число поставить вместо квадратика. Числа 7 и 12 известны, а значение квадратика неизвестно. По смыслу сложения искомое число вместе с 7 должно составить 12.
Обозначим квадратик как искомое число. Нужно найти слагаемое, которое при прибавлении к 7 даёт 12.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычтем известное слагаемое. Получим 12 − 7 = 5.
Проверим результат подстановкой: 7 + 5 = 12. Равенство верно, значит, число найдено правильно.
Ответ: 5.
После увеличения некоторого числа на 18 получилось 45. Требуется найти исходное число, но в условии оно не названо. Обозначим его буквой x; слова «увеличили на 18» означают, что к x прибавили 18.
Переведём условие в равенство: x + 18 = 45. Числа 18 и 45 известны, x — неизвестное.
Ищем неизвестное слагаемое, поэтому вычитаем 18 из 45. Получаем x = 45 − 18 = 27.
Подставим найденное значение в исходное равенство: 27 + 18 = 45. Условие выполняется, следовательно, ответ подходит.
Ответ: 27.
Периметр прямоугольника равен 26 см, одна сторона — 5 см. Нужно найти длину другой стороны. У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому периметр складывается из двух сторон по 5 см и двух неизвестных сторон.
Обозначим неизвестную сторону буквой x. Запишем периметр: 5 + x + 5 + x = 26, или 2(5 + x) = 26.
Половина периметра равна сумме двух соседних сторон: 26 : 2 = 13. Значит, 5 + x = 13, откуда x = 13 − 5 = 8 см.
Проверим по формуле периметра: 2(5 + 8) = 2 · 13 = 26 см. Полученное значение подходит к условию задачи.
Ответ: 8 см.
Иногда неизвестным называют любое число в задаче, хотя часть значений уже указана. Так происходит, если ученик замечает числа, но не отделяет вопрос от данных. Проверь себя: выпиши, что прямо известно, а затем перечитай, какое значение просят найти.
Букву могут поставить вместо числа, но не пояснить, что она означает. Тогда непонятно, относится ли x к длине, числу предметов или другой величине, особенно в задаче с несколькими неизвестными. Сразу после введения буквы напиши, какое именно число она заменяет, и используй её в этом смысле до конца решения.
Словесное условие иногда переводят в равенство с неверным порядком действий или неподходящим знаком. Например, «увеличили на 18» означает прибавление 18, а не вычитание. Не угадывай действие по одному слову: перескажи ситуацию своими словами, составь запись и проверь, отражает ли она исходный смысл.
Найденное значение не всегда подставляют обратно, поэтому ошибка в вычислениях остаётся незамеченной. Проверка особенно полезна, если при решении применяли обратное действие или составляли равенство по тексту. Подставь ответ в исходную запись и вычисли обе части; если они не равны, вернись к составлению равенства и вычислениям.
Для работы с неизвестным нужно понимать смысл сложения, вычитания, умножения и деления, а также уметь читать простые равенства. Эти знания помогают перевести описание ситуации в математическую запись и выбрать действие. Дальше обозначение неизвестного буквой понадобится при составлении и решении уравнений. Оно также помогает записывать формулы и решать текстовые задачи, в которых связаны несколько величин.
Как понять, какое число в задаче является неизвестным?
Неизвестным является то число, которое в условии просят найти или определить. Числа, значения которых уже указаны, — известные. Иногда искомое значение сначала нужно выразить через другие величины.
Можно ли обозначать неизвестное любой буквой?
Да, обычно выбирают удобную букву, например x или a. Главное — сразу пояснить, какое число она обозначает, и использовать эту букву последовательно во всех записях.
Чем неизвестное отличается от переменной?
Неизвестное в задаче — это конкретное число, которое нужно найти. Переменная может принимать разные значения, например в формуле или при рассмотрении нескольких случаев; буквой обозначают и неизвестное, и переменную.
Как по условию выбрать действие для нахождения неизвестного?
Сначала выясни, как величины связаны по смыслу: например, прибавили ли к числу другое число или разделили одно количество на равные части. Затем запиши эту связь равенством и используй подходящее обратное действие, если нужно найти неизвестное.
Зачем проверять найденное значение?
Проверка показывает, подходит ли ответ к исходному условию и равенству. Для этого подставь найденное число вместо неизвестного и выполни вычисления: левая и правая части должны быть равны.
Известное и неизвестное
