Натуральный ряд чисел

Определения и обозначения

Натуральное число — число, которое используют при счёте предметов: 1, 2, 3 и так далее. В принятом здесь соглашении 0 не считается натуральным числом, потому что ряд начинается с 1. Это уточнение помогает не включать нуль в примеры и задания, если в учебнике принято такое правило.

Натуральный ряд чисел — последовательность натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, … Многоточие показывает, что после записанных чисел есть следующие. Ряд нужен, чтобы видеть порядок чисел и сравнивать их между собой.

Предыдущее число — натуральное число, которое стоит перед данным числом в натуральном ряду. Например, для 8 предыдущим будет 7. Это понятие помогает находить число, которое при счёте называют непосредственно перед заданным.

Следующее число — натуральное число, которое стоит после данного числа в натуральном ряду. Для 8 следующим будет 9. Так можно определить ближайшее число после заданного и продолжить счёт.

Как это устроено

Когда мы считаем предметы, каждому следующему предмету соответствует число на единицу больше: после одного предмета считаем два, после двух — три. Так возникает порядок натуральных чисел. Прибавление единицы не позволяет перескочить через число, поэтому ряд идёт последовательно: 1, 2, 3, 4 и далее.

У любого натурального числа можно получить следующее, если прибавить к нему 1. Например, после 25 идёт 26, а после 100 — 101. Поскольку это правило можно применить к любому полученному числу снова и снова, последнего натурального числа нет и ряд не заканчивается.

У числа 1 нет предыдущего натурального числа: оно стоит в самом начале ряда, и перед ним нет другого натурального числа. Нуль не может занять это место в принятом соглашении, потому что он не входит в натуральный ряд. У каждого числа больше 1 предыдущее есть: например, перед 12 стоит 11.

Чтобы найти следующее число, нужно прибавить единицу, а чтобы найти предыдущее — вычесть единицу. Например, для 34 получаем 34 + 1 = 35 и 34 − 1 = 33. При поиске предыдущего для 1 правило вычитания приводит к 0, но это не натуральное число, поэтому в натуральном ряду предыдущего нет.

В натуральном ряду числа расположены по возрастанию, поэтому число, стоящее правее, больше числа слева от него. Например, 18 больше 17, потому что 18 следует за 17. Это правило помогает сравнивать числа: если одно число встречается в ряду раньше другого, оно меньше.

Натуральный ряд чисел

Используй таблицу как краткую проверку правил натурального ряда. Если нужно продолжить ряд, прибавляй единицу; если ищешь предыдущее число, помни об исключении для 1. По последней строке можно проверить, допустимо ли говорить о самом большом натуральном числе.

Разбор задач

Запишите первые десять чисел натурального ряда.

Начинаем с 1, потому что именно оно является первым натуральным числом. Затем каждый раз прибавляем единицу, не пропуская чисел. Так получаем десять чисел, начиная с единицы.

1. Записываем первое число: 1.
2. Прибавляем по 1 и продолжаем запись: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
3. Добавляем десятое число — 10, проверяя, что всего записано десять чисел.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Назовите предыдущее и следующее числа для 407.

Число 407 не является первым в ряду, поэтому у него есть предыдущее число. Чтобы найти его, отнимаем единицу; чтобы найти следующее, прибавляем единицу. Так мы получаем соседние числа, не меняя их порядок.

1. Предыдущее: 407 − 1 = 406.
2. Следующее: 407 + 1 = 408.
3. Проверяем порядок: 406, 407, 408 — каждое число на 1 больше предыдущего.

Ответ: предыдущее число — 406, следующее — 408.

В ряду натуральных чисел между 999 и 1003 вставьте пропущенные числа и объясните порядок записи.

Числа должны идти подряд, каждое следующее — на единицу больше предыдущего. После 999 меняется разряд: к 999 прибавляем 1 и получаем 1000. Затем продолжаем прибавлять единицу, пока не дойдём до 1003.

1. После 999 записываем 1000.
2. Прибавляем единицу: 1001, затем 1002.
3. Следующее число — 1003, поэтому останавливаемся перед ним.

Ответ: 1000, 1001, 1002. Числа записаны по порядку, без пропусков, в том числе при переходе через разряд.

Типичные ошибки

Считать нуль натуральным числом. Так ошибаются, если переносят соглашение из другого источника, не проверив правило учебника. В принятом здесь соглашении ряд начинается с 1. Проверь себя: если речь именно о натуральном ряде, его первая запись — 1, а не 0.

Называть 0 предыдущим числом для 1. Можно подумать, что для нахождения предыдущего всегда достаточно вычесть 1. Но 0 не входит в натуральный ряд, поэтому у 1 нет предыдущего натурального числа. Проверь ответ по самому ряду: перед 1 в нём нет числа.

Менять действия местами. Если вычесть 1, получится предыдущее число, а если прибавить 1 — следующее. Ошибка возникает, когда забывают направление движения по ряду. Проверка простая: предыдущее должно быть меньше исходного, а следующее — больше.

Пропускать числа при переходе через разряд. Например, после 999 иногда записывают 1001, забывая 1000. Это происходит из-за смены количества цифр, но правило ряда не меняется: нужно прибавлять по единице. Проверь себя, пересчитав промежуточные числа: после 999 идут 1000, 1001.

Связь с другими темами

До изучения натурального ряда нужно уметь считать предметы и понимать порядок чисел. Сам ряд помогает сравнивать числа: стоящее правее число больше. Это знание пригодится при выполнении арифметических действий и дальнейшем изучении чисел.

Натуральные числа также встречаются при работе с координатным лучом. На нём числа располагают по порядку, и переход к следующему числу соответствует движению на один шаг вправо. Поэтому понимание ряда помогает читать и строить такие схемы.

Что запомнить

• Натуральные числа используют при счёте.
• Натуральный ряд начинается с 1.
• Каждое следующее число на единицу больше предыдущего.
• Натуральный ряд не заканчивается.
• У каждого натурального числа есть следующее число.
• У числа 1 нет предыдущего в натуральном ряду.