"Математика", Чекин А.Л.
Обратная задача составляется из исходной: известное и неизвестное меняются местами, но связь между величинами сохраняется. Ответ исходной задачи часто становится известным числом в обратной. Решение можно проверить двумя способами: составить обратную задачу или выполнить обратное арифметическое действие. После вычислений нужно проверить не только число, но и соответствие ответа вопросу, условию и единицам величин.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обратная задача — задача, составленная из исходной так, чтобы известное и неизвестное поменялись местами, а связь между величинами сохранилась. Например, если сначала ищут общее количество, то в обратной задаче можно искать одну из частей. Это понятие нужно, чтобы проверять решение и лучше видеть зависимость между числами.
Исходная задача — задача, для которой составляют обратную. В ней полезно отдельно выделить условие, вопрос и решение: условие сообщает известные данные, вопрос называет неизвестное, а решение показывает путь к ответу. Такое выделение помогает не перепутать величины при составлении новой задачи.
Проверка решения — действие, позволяющее убедиться, что найденный ответ подходит к условию задачи. Проверяют вычисление обратным действием или решают составленную обратную задачу. Проверка нужна, потому что даже аккуратно записанное решение может содержать ошибку.
Обратное арифметическое действие — действие, которое отменяет результат другого действия: вычитание обратно сложению, деление обратно умножению. Например, после 8 + 5 = 13 можно выполнить 13 − 5 = 8. Такая связь помогает быстро обнаружить ошибку в вычислении.
Сначала в условии находят величины и связь между ними. Нужно спросить себя, что означает каждое число: это целое, часть, число предметов в одной группе или количество групп. Тогда становится понятно, какое известное можно сделать неизвестным, не разрушая смысл ситуации.
Чтобы составить обратную задачу, сохраняют ту же историю и зависимость между величинами. Меняют вопрос: вместо прежнего неизвестного спрашивают о другой величине. Ответ исходной задачи при необходимости включают в новое условие как известное число, потому что именно он заменяет прежнее неизвестное.
Исходная и обратная задачи проверяют друг друга, так как используют одни и те же величины. Если в исходной задаче нашли целое, то в обратной это целое уже дано, а найденная часть должна восстановить исходное число. Совпадение результата показывает, что решение согласуется с условием обеих задач.
Вычисление проверяют обратным действием, потому что оно отменяет выполненное действие. К результату сложения применяют вычитание, к результату вычитания — сложение, к результату умножения — деление, а к результату деления — умножение. Если после проверки получается исходное число, арифметическая часть решения выполнена верно.
Одного обратного вычисления недостаточно для полной проверки задачи. Нужно прочитать вопрос ещё раз и убедиться, что найдено именно требуемое количество, а не другая величина. Затем сверяют единицы измерения и проверяют, подходит ли число к условию: например, количество предметов не должно быть отрицательным.
В таблице сначала найдите действие, которое было выполнено в решении, а затем посмотрите во второй столбец. После обратного действия сравните полученное число с исходным данным или с тем числом, которое должно восстановиться. Последняя строка напоминает: после вычисления проверяют также смысл ответа.
| Действие в решении | Обратное действие для проверки | Что нужно сравнить |
|---|---|---|
| Сложение | Вычитание | Разность должна дать слагаемое |
| Вычитание | Сложение | Сумма должна дать уменьшаемое |
| Умножение | Деление | Частное должно дать множитель |
| Деление | Умножение | Произведение должно дать делимое |
| Решение задачи | Обратная задача | Ответ должен соответствовать вопросу и условию |
В коробке было 6 карандашей, затем положили ещё 3. Требуется узнать, сколько карандашей стало, а затем составить обратную задачу, где неизвестно число добавленных карандашей. Здесь известны две части общего количества, поэтому сначала нужно найти целое сложением.
Ответ исходной задачи: 9 карандашей стало. Ответ обратной задачи: 3 карандаша положили. Проверка совпала с исходным данным, значит, решение верно.
В двух коробках всего 18 кубиков, в одной коробке 7 кубиков. Нужно найти количество кубиков в другой коробке и изменить неизвестное в обратной задаче. Связь здесь описывается как целое и две части: сумма частей равна общему количеству.
Ответ исходной задачи: в другой коробке 11 кубиков. В обратной задаче неизвестным стало общее количество, а найденная часть вместе с известной восстановила число 18.
На 4 полках поровну расставили 28 книг. Требуется определить, сколько книг приходится на одну полку, а затем составить обратную задачу с неизвестным общим количеством. Слова «поровну» и число полок подсказывают деление: общее количество разделяют на равные группы.
Ответ исходной задачи: на каждой полке 7 книг. Проверка умножением вернула исходное количество 28, поэтому деление выполнено правильно и ответ соответствует условию.
Первая ошибка — просто поменять числа местами, не изменив вопрос и связь величин. Так получается набор чисел, а не обратная задача, потому что непонятно, что они означают. Проверьте себя: новая задача должна описывать ту же ситуацию, но спрашивать о другой величине.
Иногда при составлении обратной задачи забывают включить ответ исходной задачи в условие. Тогда прежнее неизвестное остаётся неизвестным, и новая задача не становится обратной. Выпишите ответ исходной задачи и убедитесь, что он используется как известное данное.
Ошибка возникает и при проверке тем же действием, которым решали задачу. Если снова выполнить сложение, прежняя ошибка может повториться и остаться незамеченной. Выберите обратное действие: сложение проверяют вычитанием, умножение — делением.
Некоторые считают решение проверенным сразу после получения числа. Но вычисление может быть правильным, а ответ — не отвечать на вопрос или иметь неправильные единицы. Прочитайте вопрос, назовите величину с единицами и сопоставьте её с условием.
До этой темы нужно уметь выделять условие и вопрос задачи, а также находить связь между известными и неизвестными величинами. Без этого трудно понять, какое число сделать неизвестным в обратной задаче.
Понадобятся знания о сложении и вычитании, умножении и делении. Особенно важно помнить пары взаимно обратных действий, потому что именно они используются для проверки вычислений.
Обратные задачи помогают проверять текстовые задачи и готовят к изучению уравнений. В уравнении также используют связь между величинами и действие, которое позволяет найти неизвестное.
Как понять, какую задачу составить обратной?
Нужно определить, какие величины связаны в исходной задаче, и выбрать другую величину, которую сделают неизвестной. При этом смысл ситуации и связь между величинами должны сохраниться.
Нужно ли менять числа в условии обратной задачи?
Не все числа меняются местами. Обычно ответ исходной задачи становится известным данным, а одно из прежних данных превращается в неизвестное.
Почему ответ исходной задачи становится известным числом в обратной?
В обратной задаче неизвестное исходной становится известным, иначе новую задачу нельзя было бы решить. Так ответ исходной задачи используется для проверки: он должен совпасть с найденным числом.
Как проверить решение, если в задаче было сложение или вычитание?
Сложение проверяют вычитанием: из суммы вычитают одно слагаемое и получают другое. Вычитание проверяют сложением: к разности прибавляют вычитаемое и получают уменьшаемое.
Достаточно ли проверить вычисление, чтобы убедиться в правильности ответа?
Нет. Нужно ещё сверить полученное число с вопросом задачи, условием и единицами величин. Арифметика может быть выполнена верно, но выбранное действие иногда не соответствует смыслу задачи.
Обратная задача и проверка решения данной задачи
