"Математика", Чекин А.Л.
Обратная задача помогает увидеть, как связаны данные и искомое в условии. В ней ответ прямой задачи становится известным данным, а одну из величин, известных в исходной задаче, требуется найти. Чтобы составить такую задачу, недостаточно поменять вопрос: нужно сохранить смысл условия и связь между величинами. Решение обратной задачи позволяет проверить ответ исходной и заметить ошибку в вычислениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямая задача — задача, в которой по известным данным находят указанную в вопросе величину. Например, если известны число предметов в одной коробке и количество коробок, можно узнать общее число предметов. Это понятие помогает отделить исходные сведения от того, что требуется найти.
Обратная задача — задача, составленная из прямой так, что известная величина становится искомой, а найденный в прямой задаче ответ используется как данное. Так можно проверить, согласуется ли результат с исходными сведениями. Для этого меняют не только вопрос, но и состав данных.
Исходная задача — задача, от которой отталкиваются при составлении обратной. Её сначала решают, потому что без ответа нельзя правильно подготовить данные для новой задачи. Это слово помогает различать начальное условие и задачу, полученную из него.
Взаимно обратные задачи — прямая и обратная задачи, в которых одни и те же величины выступают данными и искомыми в разном порядке. Сравнивая их, можно увидеть, какая величина перешла из данных в вопрос. Такой способ помогает проверить, что задачи действительно связаны, а не просто похожи.
Сначала найди в прямой задаче данные и вопрос. Данные обычно прямо названы в условии, а вопрос показывает искомую величину — ту, которую предстоит определить. Такое разделение нужно, чтобы понять, какое именно изменение потребуется при составлении обратной задачи.
Затем реши прямую задачу и запиши её ответ. При составлении обратной этот ответ должен стать одним из известных чисел, а вопрос нужно поставить о величине, которая раньше была дана. Так меняется роль величин, но связь между ними остаётся прежней.
Связь между величинами нельзя менять, потому что именно она описывает ситуацию. Например, если известно, сколько предметов в одной коробке и сколько коробок, общее количество получают умножением. В обратной задаче по общему количеству и числу коробок находят содержимое одной коробки делением: речь всё ещё идёт о равных группах.
Проверить, что задача действительно обратная, можно по двум признакам. Её данные должны включать ответ прямой задачи, а вопрос — относиться к величине, известной в прямой. Если сначала решить исходную задачу, сравнение чисел и ролей величин не позволит случайно составить задачу на другую ситуацию.
Решение обратной задачи помогает проверить исходный ответ, потому что по этому ответу можно восстановить одно из исходных данных. Если восстановленное число совпало с условием, вычисления согласуются друг с другом. Если числа разные, нужно проверить действия и то, правильно ли была составлена обратная задача.
| Элемент | Прямая задача | Обратная задача |
|---|---|---|
| Какие величины даны | Исходные данные условия | Часть исходных данных и ответ прямой задачи |
| Какая величина является искомой | Величина, указанная в вопросе | Одна из величин, известных в прямой задаче |
| Как используется ответ другой задачи | Получается при решении | Становится одним из данных |
| Какая связь между величинами сохраняется | Связь, описанная в условии | Та же связь, хотя данные и вопрос изменились |
При составлении обратной задачи сравни сначала строки о данных и искомой величине: их роли должны измениться. Затем проверь, что ответ прямой задачи перенесён в данные. Последняя строка напоминает, что сама ситуация и связь между величинами остаются прежними.
Задача: в одной коробке 8 карандашей. Сколько карандашей в 3 таких коробках? Известно количество карандашей в каждой коробке и число одинаковых коробок. Чтобы узнать общее количество, нужно объединить три равные группы, поэтому выбираем умножение.
Ответ: в 3 коробках 24 карандаша. Этот результат не просто завершает решение, а становится опорой для составления обратного условия. Важно сначала получить его вычислением, а не подставлять наугад.
Задача: в 3 одинаковых коробках 24 карандаша. Сколько карандашей в одной коробке? Это обратная задача к предыдущей: общее количество уже известно, а число карандашей в одной коробке стало искомым. Поскольку карандаши распределены поровну, используем деление.
Ответ: в одной коробке 8 карандашей. В обратном условии использован ответ 24 из прямой задачи, а искомым стало прежнее данное 8. Совпадение восстановленного числа с исходным подтверждает решение.
Задача: за 4 одинаковые тетради заплатили 200 рублей. Составьте две задачи, обратные задаче «Одна тетрадь стоит 50 рублей. Сколько стоят 4 такие тетради?», и решите их. Сначала решим исходную задачу: цена одной тетради умножается на количество. Получаем 50 × 4 = 200 рублей, и это число уже дано в новом условии.
Ответ: в первой обратной задаче купили 4 тетради, во второй одна тетрадь стоит 50 рублей. В обоих случаях исходный ответ 200 рублей включён в данные, а прежнее данное стало искомым. Так проверяется не только вычисление, но и правильность составления задач.
Меняют вопрос, но не включают ответ прямой задачи в данные обратной. Так получается задача с другим набором сведений, а не обратная к исходной. Проверь себя: найди в условии обратной ответ прямой задачи и убедись, что он используется как известное число.
Подставляют ответ, не проверив его вычислением в прямой задаче. Если в исходном решении была ошибка, она перейдёт и в обратную задачу, поэтому совпадение результатов ничего не докажет. Сначала выполни прямое вычисление заново и только потом используй его ответ.
Меняют местами данные и искомое, но нарушают смысловую связь величин. Например, при равном распределении общего количества между коробками нужно делить, а не складывать числа. Проверь, описывает ли выбранное действие исходную ситуацию и сохраняет ли условие прежний смысл.
Считают задачу обратной только потому, что в её решении выполняется обратное арифметическое действие. Деление вместо умножения может встретиться и в задаче, не связанной с исходной. Сравни не только действия, но и условие с вопросом: ответ прямой должен стать данными, а искомой — прежнее данное.
Для составления обратных задач нужно уметь выделять данные и вопрос, а также решать простые задачи на сложение, вычитание, умножение и деление. Тема опирается на связь между действиями: сложение и вычитание, умножение и деление помогают переходить от одного набора известных величин к другому. Этот приём пригодится для проверки вычислений и решения текстовых задач с несколькими неизвестными. Поэтому важно не только выполнять действия, но и понимать, что они означают в условии.
Как понять, что задача является обратной?
Сравните её с исходной: ответ исходной задачи должен стать одним из данных, а искомой — величина, которая была известна в исходной. При этом смысловая связь между величинами сохраняется.
Что именно нужно изменить, чтобы составить обратную задачу?
Нужно сделать известным ответ исходной задачи и поставить вопрос о величине, которая в ней была дана. Условие и вопрос должны по-прежнему описывать ту же связь между величинами.
Обязательно ли решать прямую задачу перед составлением обратной?
Да, сначала нужно найти ответ прямой задачи, чтобы верно включить его в данные обратной. Иначе можно использовать неверное число и перенести ошибку в новую задачу.
Может ли к одной задаче быть несколько обратных?
Да, если в исходной задаче несколько известных величин, каждую из них можно сделать искомой по очереди. Для каждой обратной задачи ответ исходной должен стать одним из данных.
Почему решение обратной задачи помогает проверить ответ?
В обратной задаче используют ответ исходной и восстанавливают одну из её известных величин. Если получено исходное данное, решение согласуется с условием; если нет, стоит перепроверить вычисления и рассуждение.
Обратная задача
