Откладываем равные отрезки

Определения и обозначения

Равные отрезки — отрезки одинаковой длины. Их концы могут располагаться по-разному: один отрезок может быть наклонён, а другой — лежать горизонтально, но это не меняет их длины. Понятие равенства помогает сравнивать отрезки и переносить нужную длину на чертёж.

Длина отрезка — число, показывающее, сколько единичных отрезков в нём содержится. Единичный отрезок выбирают за меру, а затем сравнивают с ним рассматриваемый отрезок. Длина позволяет выразить сравнение числом и записать, например, что AB = CD.

Отложить отрезок на луче — значит отметить на луче точку так, чтобы расстояние от начала луча до неё было заданной длины. Например, если на луче с началом O отложена длина AB и получена точка X, то OX = AB. Такое построение нужно, когда длину требуется перенести в новое место.

Циркуль — инструмент, которым переносят расстояние между точками, не изменяя его. Его ножки устанавливают на концах исходного отрезка, а затем переносят на новое место. Циркуль позволяет сохранить длину даже тогда, когда её не измеряют линейкой.

Как это устроено

Расстояние между концами отрезка можно перенести, потому что циркуль удерживает его между ножками. Сначала одну ножку ставят в один конец отрезка, а вторую — в другой. Если затем не менять раскрытие циркуля, расстояние между ножками останется прежним. Поэтому циркуль переносит именно длину, а не приблизительную меру, выбранную на глаз.

Чтобы отложить AB на луче с началом O, установи раствор циркуля по точкам A и B. Затем поставь иглу в O и проведи короткую дугу, пересекающую луч. Точку пересечения обозначь X. Такой порядок действий нужен, чтобы расстояние от O до X совпало с расстоянием между A и B, а сама точка X оказалась на требуемом луче.

Полученный отрезок OX равен AB, потому что при переносе не изменилось расстояние между ножками циркуля. Ножки были раздвинуты на длину AB, а после установки иглы в O другая ножка прошла ровно такое же расстояние. Значит, отрезки AB и OX имеют одинаковую длину. Равенство устанавливается по сохранённому расстоянию, а не по внешнему сходству линий на рисунке.

На данном луче от его начала заданную длину можно отложить только одним способом. Все точки, удалённые от O на одну и ту же величину, лежат на окружности с центром O. Эта окружность пересекает луч только в одной точке, расположенной в направлении луча. Поэтому второй точки на том же луче с тем же расстоянием от начала не существует.

Построение проверяют по двум условиям: отмеченная точка должна лежать на заданном луче, а длина полученного отрезка должна совпадать с исходной. Обозначь точку, например X, и запиши OX = AB. Затем проверь, что игла циркуля стояла именно в начале луча, а раствор при переносе не менялся. Запись равенства фиксирует результат, а проверка положения точки исключает построение не на той части прямой.

Построение отрезка, равного заданному

Таблица показывает последовательность действий при переносе длины циркулем. Двигайся по шагам сверху вниз и сохраняй раствор циркуля до отметки точки. После построения назови точку и запиши равенство отрезков.

Разбор задач

Задача 1. Дан отрезок AB и луч с началом O. Построй на луче отрезок, равный AB. Чтобы не измерять длину и не зависеть от масштаба рисунка, перенесём её циркулем. После построения обозначим новую точку X и проверим, что OX = AB.

1. Поставь ножки циркуля в точки A и B, чтобы расстояние между ними стало равно AB.
2. Не меняя раствор циркуля, поставь иглу в начало луча O.
3. Проведи дугу до пересечения с лучом и обозначь точку пересечения X.
4. Запиши OX = AB и проверь, что X лежит на луче с началом O.

Ответ: на луче построен отрезок OX, равный AB. Длина перенесена циркулем, а положение точки проверено по лучу. Если точка оказалась по другую сторону от O, нужно повторить построение в правильном направлении.

Задача 2. На луче с началом M построй последовательно два отрезка, каждый равный CD. Первую длину отложим от M, а вторую — от полученного конца первого отрезка. Так части будут идти подряд и не наложатся друг на друга. Обозначим последовательные концы N и K.

1. Установи раствор циркуля по концам CD, поставь иглу в M и отметь на луче точку N.
2. Сохрани тот же раствор, поставь иглу в N и отметь на луче точку K.
3. Запиши MN = CD и NK = CD, затем проверь, что M, N и K расположены на луче в этом порядке.

Ответ: построены два последовательных отрезка MN и NK, каждый равен CD. Для второго переноса начало изменилось с M на N, но длина циркуля осталась прежней. Поэтому оба полученных отрезка равны исходному CD.

Задача 3. На луче с началом P отмечены Q и R, причём PQ = AB, а QR = CD. Построй на этом же луче отрезок, равный сумме длин AB и CD, и обоснуй результат. Так как точки идут от P через Q к R, длина PR складывается из PQ и QR. Следовательно, уже построенный отрезок PR подходит, а новых измерений не требуется.

1. Используй данные равенства PQ = AB и QR = CD.
2. Так как Q лежит между P и R, запиши PR = PQ + QR.
3. Подставь равные длины: PR = AB + CD.
4. Обозначь PR как искомый отрезок и проверь, что он расположен на заданном луче.

Ответ: искомый отрезок — PR. Он равен сумме AB и CD, потому что складываются длины последовательных частей PQ и QR. Условие о порядке точек важно: оно позволяет представить весь отрезок PR как сумму этих двух частей.

Типичные ошибки

Считать отрезки равными только по рисунку. Линии могут казаться одинаковыми из-за масштаба или особенностей чертежа, хотя их длины различаются. Такую ошибку допускают, когда полагаются на зрительное впечатление вместо сравнения. Проверь длины циркулем или линейкой и не делай вывод о равенстве только на глаз.

Изменить раствор циркуля при переносе. Если ножки сдвинулись, новое расстояние уже не совпадает с длиной исходного отрезка. Это может произойти, когда циркуль случайно сжали или раскрыли при перестановке. Перед отметкой точки проверь, что раствор сохранился, и снова сравни его с исходными концами.

Поставить иглу не в начало луча. Тогда построенный отрезок начнётся в другой точке, даже если расстояние между ножками верное. Ошибку легко допустить, если не обозначить начало луча или поставить иглу рядом с ним. Проверь, что одна из конечных точек нового отрезка совпадает именно с началом луча.

Отметить точку вне луча или на противоположном продолжении. На прямой есть две стороны от её точки, но луч идёт только в одном направлении от начала. Ошибка возникает, если воспринимать луч как всю прямую или провести дугу не там. Убедись, что отмеченная точка лежит на заданном луче и дальше от начала в его направлении.

Связь с другими темами

Для построения нужно различать прямую, луч и отрезок, правильно обозначать их, а также уметь пользоваться линейкой и циркулем. Луч имеет начало и продолжается в одном направлении, поэтому точка, отложенная на противоположной стороне, не подходит. Перенос длины пригодится при построении отрезков заданной длины и треугольников. Он также помогает сравнивать геометрические фигуры, не полагаясь на внешний вид чертежа.

Что запомнить

• Равные отрезки имеют одинаковую длину.
• Циркуль позволяет переносить расстояние, не измеряя его численно.
• Чтобы отложить длину на луче, центр дуги помещают в начало луча.
• Нужная точка должна лежать на заданном луче.
• Раствор циркуля при переносе длины не меняют.
• На одном луче от его начала можно отложить заданную длину единственным образом.