"Математика", Чекин А.Л.
Перестановка множителей — изменение их порядка в произведении без изменения результата. Это свойство помогает проверить равенство выражений и быстрее считать: например, вместо 4 · 25 можно записать 25 · 4 и получить 100. Множители можно менять местами и в произведении из нескольких чисел, если не потерять ни один из них и не изменить их значения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множитель — число, участвующее в умножении. Например, в записи 3 · 4 оба числа, 3 и 4, являются множителями. Это понятие помогает увидеть, какие именно числа можно менять местами, не изменяя их значения.
Произведение — результат умножения и запись действия умножения. В выражении 3 · 4 произведение — это вся запись, а её значение равно 12. Различать запись и значение полезно, чтобы понимать: вид выражения может измениться, даже если ответ останется прежним.
Переместительное свойство умножения — свойство, по которому при перестановке множителей значение произведения не изменяется. Например, 3 · 4 = 4 · 3. Оно позволяет выбирать удобный порядок чисел при вычислениях и проверять, равны ли произведения.
Перестановка множителей — изменение порядка множителей без изменения их произведения. Так, из 2 · 5 можно получить 5 · 2, не меняя числа 2 и 5. Это понятие показывает, какое именно изменение записи разрешено: меняются местами множители, а не их значения.
Умножение можно понимать как подсчёт одинаковых групп. Запись 3 · 4 означает три группы, в каждой из которых по четыре предмета, поэтому всего предметов 4 + 4 + 4 = 12. Если представить те же 12 предметов как четыре группы по три, количество не изменится: предметы те же, изменился лишь способ их разложить. Поэтому число групп и количество предметов в группе можно поменять местами.
Эту мысль легко проверить на прямоугольной таблице. Если расположить предметы в a рядах по b штук, в каждом ряду будет b предметов, а всего — a · b. Те же предметы можно считать по столбцам: получится b столбцов по a предметов, то есть b · a. Ни одна клетка или предмет не исчезает и не добавляется, поэтому оба подсчёта дают одно общее количество.
Переместительное свойство записывают формулой a · b = b · a. Буквы a и b обозначают множители, а знак равенства показывает, что значения обеих частей совпадают. Формула обобщает примеры с конкретными числами: она действует не только для 3 и 4, но для любых чисел, для которых определено умножение.
После перестановки меняется порядок записи: например, вместо 3 · 4 пишут 4 · 3. Однако сами множители остаются равными прежним числам, и общий подсчёт предметов не меняется. Если спутать изменение записи с изменением результата, легко ошибочно решить, что новое выражение обязательно имеет другое значение.
В произведении из нескольких множителей можно переставлять числа, сохраняя все множители и их значения. Например, в записи 3 · 2 · 5 можно поставить рядом 2 и 5, чтобы сначала получить 10. Такой выбор порядка полезен, если один из вариантов даёт знакомое произведение или круглое число; при этом важно не потерять множитель и не заменить его другим.
| Случай | Запись до перестановки | Запись после перестановки | Вывод |
|---|---|---|---|
| Два множителя | a · b | b · a | Произведение не изменяется |
| Числовой пример | 3 · 4 = 12 | 4 · 3 = 12 | Оба произведения равны 12 |
| Три множителя | 2 · 5 · 13 | 5 · 2 · 13 | Множители сохранены, результат тот же |
| Вычисление удобным способом | 4 · 25 | 25 · 4 | Удобно получить 100 |
Сначала найдите в таблице нужный случай, затем сравните, какие множители стояли до и после перестановки. Проверьте, что значения чисел и их количество сохранились. Вывод в последнем столбце подсказывает, что именно остаётся неизменным.
Здесь можно поменять множители местами, потому что при перестановке значение произведения сохраняется. Число 25 удобно умножать на 4: такое произведение легко представить как четверть от 100 или посчитать сложением четырёх двадцатипяток. Поэтому изменим только порядок записи, не меняя сами числа.
Ответ: 100.
В выражениях использованы одинаковые множители, но они записаны в разном порядке. Чтобы сравнить значения, не обязательно отдельно выполнять оба вычисления: достаточно применить переместительное свойство. Оно объясняет равенство не только по полученному ответу, но и по правилу умножения.
Ответ: 7 · 6 = 6 · 7; выражения равны.
Если считать слева направо, сначала получится 2 · 5 = 10, что уже удобно. Но такой порядок можно выбрать и явно: переместить множители так, чтобы двойка и пятёрка стояли рядом. Все три числа должны остаться в записи, иначе получится другое произведение.
Ответ: 130.
Ошибка — думать, что после перестановки множителей произведение обязательно меняется. Её допускают, потому что замечают другую запись и принимают её за другое значение. Проверьте себя: в записи 3 · 4 = 4 · 3 изменён только порядок, а оба подсчёта дают 12.
Иногда переставляют не множители, а меняют значение одного из них или передвигают только часть записи. Например, превращать 2 · 5 в 3 · 5 — не перестановка, потому что число 2 заменили на 3. Для проверки сравните набор множителей до и после: должны сохраниться те же числа, измениться может только их порядок.
Переместительное свойство умножения путают со свойствами сложения или переносят на вычитание и деление. Причина в том, что в этих действиях тоже можно встретить два числа, записанных рядом. Проверьте равенство на простом примере: 8 − 3 = 5, а 3 − 8 = −5; значит, менять числа местами при вычитании нельзя.
В произведении из трёх и более чисел можно случайно потерять множитель или записать его с другим значением. Тогда результат изменится не из-за перестановки, а потому, что само произведение стало другим. До вычисления пересчитайте множители и убедитесь, что каждое исходное число присутствует в новой записи ровно один раз.
Для работы с перестановкой нужно знать смысл умножения, понятия «множитель» и «произведение», таблицу умножения и знаки арифметических действий. Свойство пригодится при устных и письменных вычислениях, упрощении числовых выражений и решении задач. Далее перестановку можно сочетать с группировкой множителей и другими свойствами арифметических действий, чтобы выбирать ещё более удобный способ счёта.
Почему 3 · 4 равно 4 · 3, если действия записаны по-разному?
3 · 4 означает три группы по четыре предмета, а 4 · 3 — четыре группы по три предмета. В обоих случаях всего 12 предметов, поэтому произведения равны, хотя запись различается.
Можно ли переставлять местами множители в произведении из трёх чисел?
Да, множители можно переставлять местами, не меняя их значения. Например, в 2 · 5 · 13 удобно поставить рядом 2 и 5: получится 2 · 5 · 13 = 10 · 13.
Меняется ли результат, если поменять местами множители 0 или 1?
Нет, правило действует и для нуля, и для единицы. Например, 7 · 0 = 0 · 7 = 0, а 7 · 1 = 1 · 7 = 7.
Можно ли применять это свойство к вычитанию и делению?
Нет, перестановочное правило относится к умножению. При вычитании и делении порядок чисел обычно важен: например, 8 − 3 не равно 3 − 8, а 8 : 2 не равно 2 : 8.
Как перестановка множителей помогает считать быстрее?
Можно выбрать такой порядок, при котором сначала образуется знакомое или круглое число. Например, в 2 · 5 · 13 сначала удобно вычислить 2 · 5 = 10, а затем умножить 10 на 13.
Перестановка множителей
