Умножение числа 0 и на число 0

Определения и обозначения

Множитель — число, которое участвует в умножении. Например, в записи 0 · a множителями являются и 0, и a. Это понятие помогает увидеть, какие числа перемножаются, и применить правило, если один из них равен нулю.

Произведение — результат умножения двух множителей. В записи 0 · 6 = 0 число 0 справа от знака равенства — произведение, а числа 0 и 6 — множители. Название нужно, чтобы отличать действие умножения от его результата и правильно описывать вычисление.

Умножение на ноль — умножение, в котором один из множителей равен нулю. Нулевой множитель может стоять как перед другим числом, так и после него. Этот термин помогает быстро распознать случай, когда произведение можно сразу заменить на 0.

Как это устроено

При умножении 0 на натуральное число получается 0. Умножение можно представить как сложение одинаковых слагаемых: число 0 · 5 означает, что число 5 нужно взять ноль раз. Складывать в таком случае нечего, поэтому результатом является 0. Это не зависит от того, какое натуральное число стоит вторым множителем.

При умножении натурального числа на 0 тоже получается 0. Например, 4 · 0 можно представить как сумму четырёх нулей: 0 + 0 + 0 + 0. Сумма не изменится от добавления нулей и останется равной 0. Поэтому второй множитель-ноль также обнуляет произведение.

Оба правила согласуются с перестановочным свойством умножения. Оно говорит, что от перестановки множителей произведение не меняется: 0 · a = a · 0. Значит, можно рассмотреть ноль первым или вторым множителем, а ответ останется одинаковым. Это свойство позволяет объяснить оба случая одним правилом.

Например, 0 · 6 = 0: один множитель равен нулю, значит, произведение равно нулю. Точно так же 6 · 0 = 0, хотя ноль теперь стоит справа. В выражении 3 · 0 + 2 сначала находим произведение 3 · 0, получаем 0, а затем складываем: 0 + 2 = 2. Примеры показывают, что ноль обнуляет именно произведение, а не автоматически всё выражение рядом с ним.

Умножение на ноль отличается от умножения на единицу. Например, 6 · 0 = 0, но 6 · 1 = 6: единица не меняет другой множитель. Причина в том, что сложение шести нулей даёт ноль, а сложение шести единиц даёт шесть. Поэтому значение множителя важно: ноль и единица действуют по-разному.

Умножение числа на ноль

Сначала найди в записи множитель, равный нулю, затем прочитай результат в соответствующей строке. Обе строки дают один ответ, потому что от перестановки множителей произведение не меняется. Буква a обозначает число, поэтому вместо неё можно подставить, например, 6 или 15.

Разбор задач

Задача: вычисли 0 · 8. Нужно определить, какой знак действия связывает числа, и проверить, есть ли среди множителей ноль. Здесь ноль уже стоит первым множителем, поэтому можно применить правило умножения на ноль. Вычислять повторное сложение не требуется.

1. В записи 0 · 8 множители — 0 и 8.
2. Один из множителей равен нулю, значит, произведение равно 0.

Ответ: 0.

Задача: вычисли 15 · 0 + 4 · 0. Здесь записана сумма двух произведений, поэтому сначала выполняем умножение. В каждом произведении есть нулевой множитель, и каждое из них даст 0. Только после этого складываем полученные результаты.

1. Вычисляем первое произведение: 15 · 0 = 0.
2. Вычисляем второе произведение: 4 · 0 = 0.
3. Складываем результаты: 0 + 0 = 0.

Ответ: 0.

Задача: найди значение выражения 7 · (12 − 12) + 3 · 0. В выражении есть скобки, умножение и сложение, поэтому важно соблюдать порядок действий. Сначала вычислим скобки: они могут дать ноль, и тогда первый множитель окажется нулевым. Второе произведение тоже содержит ноль.

1. Выполняем действие в скобках: 12 − 12 = 0.
2. Вычисляем произведения: 7 · 0 = 0 и 3 · 0 = 0.
3. Складываем: 0 + 0 = 0.

Ответ: 0.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что 0 · a = a. Так происходит, когда правило умножения на ноль путают с умножением на единицу. Проверь себя на конкретном числе: 0 · 6 = 0, а 1 · 6 = 6. Если результат совпал с другим множителем, значит, ты применил не то правило.

Ошибка: считать, что правило работает только при нуле слева. Ноль справа иногда не замечают, хотя множители можно переставлять по перестановочному свойству. Например, 8 · 0 = 0 так же, как 0 · 8 = 0. Для проверки найди оба множителя и посмотри, равен ли хотя бы один из них нулю.

Ошибка: сразу обнулять всё выражение, если ноль только входит в один из множителей. Например, в записи 7 · (5 − 5) ноль сначала не виден: его нужно получить, вычислив скобки. Выполняй действия по порядку и проверяй значение каждого множителя. Нулём становится произведение, в котором множитель действительно равен нулю.

Ошибка: путать умножение на ноль с делением на ноль. Умножение с нулевым множителем имеет известный результат, а делить на ноль нельзя. Проверяй знак действия: точка или знак умножения означает умножение, двоеточие или дробная черта могут означать деление. Правило о произведении не применяют к делению.

Связь с другими темами

Чтобы понять умножение на ноль, нужно знать умножение как сложение одинаковых слагаемых: так объясняются ноль слагаемых и сумма нулей. Перестановочное свойство помогает перенести ноль с первого места на второе и обратно, не меняя результата. Эти знания пригодятся при вычислении числовых выражений: сначала соблюдают порядок действий, а затем применяют правило для нулевого множителя. Оно также помогает вычислять произведения при раскрытии скобок.

Что запомнить

• 0 · a = 0.
• a · 0 = 0.
• Если один из множителей равен нулю, произведение равно нулю.
• Ноль может стоять как на первом, так и на втором месте.
• Умножение на ноль не следует путать с умножением на единицу.
• Делить на ноль нельзя.