Прямая бесконечна

Определения и обозначения

Прямая — линия, не имеющая ни начала, ни конца и продолжающаяся бесконечно в обе стороны. На бумаге нельзя изобразить её целиком, поэтому чертёж показывает лишь часть линии. Это определение помогает не принимать видимый участок за фигуру с ограниченной длиной.

Точка принадлежит прямой, если она лежит на этой прямой; если не лежит — не принадлежит ей. Например, если точка C расположена прямо на линии AB, говорят, что C принадлежит прямой AB. Это понятие нужно, чтобы точно описывать расположение точек на чертеже.

Прямую называют по двум точкам, лежащим на ней, например прямой AB. Буквы A и B обозначают точки, а не концы линии: у прямой концов нет. Такое обозначение позволяет понять, о какой именно прямой идёт речь, если на рисунке их несколько.

Через две различные точки можно провести единственную прямую. Значит, обе точки вместе однозначно задают линию, проходящую через них. Это правило нужно для построений и помогает определить, сколько разных прямых можно получить из заданных точек.

Как это устроено

На чертеже прямую изображают только частью линии, потому что бесконечная линия не помещается на листе. Рисунок — это условное изображение, а не сама прямая целиком. Поэтому короткая черта на странице может представлять прямую, которая мысленно продолжается далеко за её пределы.

Края нарисованного участка не являются концами прямой: они появились лишь потому, что изображение остановили на границе удобного места. Представь, что линию можно продолжать карандашом дальше и дальше в обе стороны. При таком мысленном продолжении никакая точка края рисунка не становится началом или концом самой прямой.

Две точки задают прямую, поскольку через любые две различные точки проходит ровно одна линия. Если на этой линии выбраны точки A и B, её называют прямой AB. Для обозначения достаточно назвать обе точки: других прямых, проходящих через них, нет, поэтому название однозначно указывает на нужную линию.

Чтобы проверить, лежит ли точка на прямой, сравни её положение с линией на чертеже. Если точка поставлена прямо на линии, она принадлежит прямой; если между точкой и линией есть расстояние, она не принадлежит ей. Ответ можно записать словами: C принадлежит прямой AB, или символически: C ∈ AB; для точки вне линии используют запись D ∉ AB.

Прямая, луч и отрезок различаются тем, как далеко продолжается изображённая линия и есть ли у неё границы. У отрезка есть два конца, поэтому он ограничен с обеих сторон. У луча есть начало, но только одно направление продолжения; прямая же не имеет ни начала, ни конца и продолжается в обе стороны.

Сравнение прямой, луча и отрезка

Сначала посмотри, есть ли у изображённой фигуры отмеченные границы, затем проверь направления продолжения. У прямой нет концов, у луча отмечено начало, а у отрезка — оба конца. Такой порядок помогает определить фигуру, даже если рисунок выполнен схематично.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены точки A и B. Проведи через них прямую и обозначь её. Поскольку точки различны, применимо правило о единственной прямой через две точки. Нужно провести одну линию и назвать её по отмеченным точкам.

1. Найди на чертеже точки A и B и приложи к ним линейку. Прямая должна проходить через обе точки.
2. Проведи линию через A и B и мысленно продолжи её за обе точки в обоих направлениях. На листе останется видимая часть, но она изображает всю прямую.
3. Назови прямую по точкам, лежащим на ней. Порядок букв можно поменять, поскольку прямая AB и прямая BA обозначают одну и ту же линию.

Ответ: проведена прямая AB.

Задача 2. На прямой AB отмечены точки C и D. Запиши, какие из точек A, B, C и D принадлежат этой прямой. В условии сказано, что C и D отмечены на прямой AB, а сама прямая названа по точкам A и B. Значит, все четыре указанные точки лежат на одной линии.

1. Уточни, какие точки определяют прямую: это A и B. По обозначению они лежат на прямой AB.
2. Используй условие о точках C и D: обе отмечены на той же прямой. Следовательно, они также принадлежат ей.
3. Запиши только названия точек, не называя их прямыми. Если нужно, добавь фразу, что каждая из четырёх точек принадлежит прямой AB.

Ответ: прямой AB принадлежат точки A, B, C и D.

Задача 3. Даны три различные точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. Проведи прямые через каждую пару точек и определи, сколько прямых получилось. Перебирать нужно именно пары: прямая определяется двумя точками. Условие о том, что точки не лежат на одной прямой, исключает совпадение полученных линий.

1. Составь пары точек: A и B, A и C, B и C. Других пар из этих трёх точек нет.
2. Проведи прямую через A и B, затем через A и C, затем через B и C. Для каждой пары существует единственная прямая.
3. Проверь, не совпали ли линии. Так как все три точки не лежат на одной прямой, каждая пара задаёт отдельную линию.

Ответ: получилось три прямые: AB, AC и BC.

Типичные ошибки

Ошибка — считать края нарисованного участка концами прямой. Так думают, потому что на бумаге видны только границы рисунка, а не бесконечная линия. Проверь себя: если речь именно о прямой, мысленно продли её за края в обе стороны; у неё не должно появиться конечных точек.

Ошибка — называть прямую по одной точке. Одна точка может лежать на множестве разных прямых, поэтому её недостаточно для точного обозначения. Проверь себя: в названии прямой должны быть две заглавные буквы, соответствующие точкам на ней, например AB.

Ошибка — считать, что через две точки можно провести несколько разных прямых. Это кажется возможным, если представить линии с разными наклонами, но две линии, проходящие через обе заданные точки, совпадут. Проверь себя: для пары различных точек укажи одну прямую, а не несколько.

Ошибка — путать прямую с лучом или отрезком и не учитывать направления продолжения. На схематичном рисунке все три фигуры могут выглядеть как короткие линии, поэтому важно проверить, есть ли начало и концы. Проверь себя: прямая продолжается в обе стороны, луч — в одну от начала, а отрезок ограничен двумя концами.

Связь с другими темами

Чтобы читать чертежи с прямыми, нужно узнавать точки и понимать, что геометрические обозначения связывают буквы с конкретными объектами. Это умение пригодится при изучении взаимного расположения прямых, лучей и отрезков: там важно видеть, пересекаются ли фигуры и где находятся их точки. Представление о прямой также используют в построениях и задачах, где по нескольким точкам требуется провести линии или определить их количество.

Что запомнить

• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• На чертеже показывают только часть прямой.
• Прямую можно обозначить двумя буквами, соответствующими точкам на ней.
• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Прямая продолжается в обе стороны.
• Прямую не следует путать с лучом и отрезком.