Прямоугольник и квадрат

Определения и обозначения

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые, то есть каждый равен 90°. Чтобы распознать прямоугольник, проверь все четыре угла: если каждый из них прямой, фигура подходит под определение. Одного прямого угла недостаточно.

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны. Значит, у квадрата четыре прямых угла и четыре стороны одной длины: он обладает всеми свойствами прямоугольника и ещё одним дополнительным свойством. Так можно понять, почему квадрат относят сразу к двум видам фигур.

Сторона прямоугольника — один из отрезков, образующих его границу; противоположные стороны лежат напротив друг друга. На чертеже вершины часто обозначают A, B, C, D по порядку, а стороны называют AB, BC, CD и DA. Такая запись помогает отличать каждую сторону и указывать, какие из них сравнивают.

Диагональ прямоугольника — отрезок, соединяющий две противоположные вершины. Чтобы провести диагональ, соедини, например, вершины A и C; полученный отрезок обозначают AC. У четырёхугольника ABCD есть две диагонали: AC и BD, поэтому их обозначения не совпадают с обозначениями сторон.

Как это устроено

Определение прямоугольника основано на углах: если все четыре угла прямые, соседние стороны при каждой вершине перпендикулярны. Противоположные стороны при этом перпендикулярны одной и той же стороне. Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу, поэтому противоположные стороны прямоугольника параллельны.

Противоположные стороны прямоугольника не только параллельны, но и равны. Это следует из того, что диагональ делит прямоугольник на два треугольника, совпадающих по стороне и углам; соответствующие стороны этих треугольников имеют одинаковую длину. Благодаря этому, если известна одна сторона, можно сразу назвать длину противоположной, а не измерять её заново.

Квадрат удовлетворяет определению прямоугольника, потому что у него все углы прямые. Равенство всех сторон не отменяет это условие, а добавляет к нему ещё одно. Поэтому каждый квадрат — прямоугольник, но не каждый прямоугольник — квадрат: у обычного прямоугольника соседние стороны могут быть разными.

Диагонали прямоугольника равны, потому что каждая из них является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными сторонам прямоугольника. У этих треугольников одинаковые катеты, значит, одинаковы и гипотенузы. Если диагонали обозначены AC и BD, можно заключить, что AC = BD; при пересечении они делятся пополам, поэтому отрезки от точки пересечения до вершин на одной диагонали равны между собой.

У квадрата сохраняется свойство прямоугольника: его диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам. Кроме того, диагонали квадрата перпендикулярны и делят его углы пополам. Это можно объяснить равенством сторон: треугольники, образованные диагоналями и сторонами, оказываются равными, поэтому соответствующие углы и части диагоналей совпадают.

Сравнение прямоугольника и квадрата

Сначала сравни углы, затем стороны: это позволяет отличить общий признак двух фигур от дополнительного свойства квадрата. В строке о периметре a и b — длины соседних сторон прямоугольника, а a — сторона квадрата. Если все стороны прямоугольника тоже равны, он является квадратом.

Разбор задач

Задача 1. Определите, является ли четырёхугольник прямоугольником, если известно, что все его углы прямые. Здесь известен ровно тот признак, который указан в определении, поэтому дополнительные сведения о длинах сторон не нужны. Проверка простая: у четырёхугольника четыре угла, и каждый из них по условию прямой.

1. Вспоминаем определение: прямоугольник — четырёхугольник со всеми прямыми углами.
2. Сопоставляем его с условием: у данного четырёхугольника все углы прямые.
3. Делаем вывод по определению, не добавляя требований к длинам сторон.

Ответ: да, этот четырёхугольник является прямоугольником.

Задача 2. Соседние стороны прямоугольника равны 7 см и 4 см. Найдите его периметр. Противоположные стороны равны соответственно 7 см и 4 см, поэтому в фигуре есть по две стороны каждой длины. Периметр — это сумма длин всех сторон, а не только двух соседних.

1. Записываем длины четырёх сторон: 7 см, 4 см, 7 см, 4 см.
2. Складываем их: P = 7 + 4 + 7 + 4 = 22 см.
3. Проверяем тем же результатом по формуле: P = 2(7 + 4) = 22 см.

Ответ: периметр равен 22 см.

Задача 3. Периметр прямоугольника равен 34 см, одна сторона — 10 см. Найдите вторую сторону и определите, является ли прямоугольник квадратом. Обозначим соседнюю неизвестную сторону буквой b. Каждая из этих сторон повторяется у прямоугольника дважды, поэтому периметр выражается как 2(10 + b).

1. Составляем уравнение: 2(10 + b) = 34.
2. Делим обе части на 2: 10 + b = 17.
3. Вычитаем 10: b = 7 см.
4. Сравниваем соседние стороны: 10 см и 7 см не равны, значит, все четыре стороны не равны.

Ответ: вторая сторона равна 7 см; прямоугольник не является квадратом.

Типичные ошибки

Можно ошибочно считать прямоугольником любой четырёхугольник с равными противоположными сторонами. Такие стороны сами по себе не гарантируют прямых углов: углы фигуры могут быть наклонными. Ошибку допускают, когда проверяют только длины, поэтому обязательно отдельно убедись, что каждый угол равен 90°.

Иногда квадрат называют фигурой, которая не является прямоугольником, потому что его стороны равны. Но определение прямоугольника требует прямых углов, а у квадрата они есть; равенство сторон этому не мешает. Проверь себя вопросом: выполняет ли квадрат условие «все углы прямые»? Если да, он относится к прямоугольникам.

Диагональ путают со стороной, когда называют так любой отрезок на чертеже. Сторона соединяет соседние вершины и входит в границу фигуры, а диагональ соединяет противоположные вершины. Для проверки проследи, лежит ли отрезок по краю четырёхугольника или проходит между его несоседними вершинами.

При вычислении периметра прямоугольника иногда складывают только две соседние стороны и забывают, что таких пар две. Это происходит, если периметр путают с суммой длин, нужных для описания фигуры. Проверь запись: должны быть учтены четыре стороны, поэтому используй P = 2(a + b), а не только a + b.

Связь с другими темами

Для изучения прямоугольников нужно знать, как называются стороны и вершины четырёхугольника, что такое прямой угол и какие прямые называют параллельными. Эти понятия позволяют понимать определение фигуры и объяснять свойства её сторон. Если названия элементов пока непривычны, обозначай вершины по порядку и сверяй каждую пару отрезков с чертежом.

Свойства прямоугольника и квадрата пригодятся при вычислении периметров и площадей: равные стороны помогают составлять формулы и находить неизвестные длины. Равенство диагоналей используется в задачах, где известна одна диагональ или нужно сравнить части фигуры. Начинай решение с определения известных элементов, затем выбирай нужное свойство.

Что запомнить

• У прямоугольника все углы прямые.
• Противоположные стороны прямоугольника равны.
• Диагонали прямоугольника равны.
• Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами.
• У квадрата все углы прямые и все стороны равны.
• Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин соседних сторон.