Прямой, острый и тупой углы

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Это общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Например, если лучи выходят из точки O, именно точка O является вершиной. Понятие угла нужно, чтобы описывать поворот одного луча относительно другого и сравнивать такие повороты.

Прямой угол — угол, градусная мера которого равна 90°. На чертеже его часто обозначают маленьким квадратиком у вершины: так можно узнать прямой угол, даже если рядом не записано число 90°. Этот вид угла служит удобным образцом для сравнения других углов. Например, прямые углы встречаются при пересечении перпендикулярных прямых.

Острый угол — угол, величина которого больше 0°, но меньше 90°. Иначе говоря, его поворот меньше поворота, соответствующего прямому углу, но он не равен нулю. Это определение помогает отличить острый угол от прямого даже тогда, когда стороны на рисунке расположены необычно. Для точного определения можно измерить угол транспортиром.

Тупой угол — угол, величина которого больше 90°, но меньше 180°. Он раскрыт шире прямого угла, однако не достигает развёрнутого угла. Обе границы здесь строгие: ни 90°, ни 180° не относятся к тупым углам. Определение позволяет не путать тупой угол с прямым или развёрнутым.

Как это устроено

Градусная мера показывает, насколько один луч повернут относительно другого. Чем больше поворот между сторонами, тем больше градусная мера угла. Для измерения используют транспортир: его центр совмещают с вершиной угла, а нулевую отметку — с одной из сторон. Затем смотрят, у какой отметки проходит вторая сторона, и получают меру угла в градусах.

Прямой угол удобен как ориентир, потому что его мера точно известна: это 90°. Например, при пересечении перпендикулярных прямых образуются прямые углы. Если наложить такой угол на другой, станет понятно, раскрыт ли тот уже или ещё нет. Поэтому сравнение с прямым углом иногда позволяет определить вид угла, даже не измеряя его транспортиром.

Классификация получается из сравнения градусной меры с 90°. Если мера меньше 90°, угол острый; если ровно 90° — прямой; если больше 90°, но меньше 180° — тупой. Границы следуют из самих определений, поэтому равенство 90° нельзя относить сразу к двум видам. А условие «меньше 180°» отделяет тупой угол от развёрнутого.

Вид угла зависит от величины поворота между его сторонами, а не от того, как стороны направлены на странице. Если повернуть весь чертёж, лучи изменят положение, но угол между ними останется прежним. Поэтому прямой угол может выглядеть наклонённым, а острый — быть направленным вниз или вбок. Чтобы не ошибиться, сравнивают раскрытие угла с прямым образцом или измеряют его.

Границы видов помогают понять, какие углы не входят в эту классификацию. У нулевого угла стороны совпадают, а величина поворота равна 0°, поэтому он не является острым. Развёрнутый угол равен 180°, то есть достигает границы, которую тупой угол должен не достигать. Значит, нулевой и развёрнутый углы нельзя называть острыми или тупыми.

Виды углов по градусной мере

Сначала найди градусную меру угла или сравни его с прямым образцом. Затем проверь, к какому промежутку относится число: меньше 90°, ровно 90° или больше 90°, но меньше 180°. Так таблица помогает быстро определить вид и одновременно проверить, не попадает ли угол на границу другого вида.

Разбор задач

Задача 1. Определить вид углов с градусными мерами 42°, 90° и 137°. Здесь не нужно строить углы: достаточно сопоставить каждое число с 90° и проверить границы определений. Угол в 90° не следует относить к острому или тупому, потому что для него есть отдельное название. Решение можно записать последовательно.

1. Сравниваем 42° и 90°: 42° меньше 90°, но больше 0°, значит, угол острый.
2. Мера второго угла равна 90°, поэтому он прямой.
3. 137° больше 90°, но меньше 180°, поэтому третий угол тупой.

Ответ: 42° — острый угол, 90° — прямой, 137° — тупой.

Задача 2. На рисунке один угол меньше прямого, другой больше прямого. Назвать их виды, не измеряя транспортиром. Прямой угол берём за образец: он раскрыт ровно на 90°. Сравнивать нужно именно величину раскрытия, а не то, куда направлены стороны. При сомнительном изображении можно приложить угольник или воспользоваться транспортиром.

1. Находим или представляем прямой угол как образец величины 90°.
2. Угол, раскрытие которого меньше образца, меньше 90° и потому является острым.
3. Угол, раскрытие которого больше образца, больше 90°; если он не достигает 180°, то является тупым.

Ответ: угол меньше прямого — острый, угол больше прямого и меньше развёрнутого — тупой. Если рисунок выполнен неточно, одного зрительного сравнения недостаточно: проверь угол угольником или измерь его транспортиром.

Задача 3. Построить углы 68°, 90° и 156° с помощью транспортира, затем определить их виды. Важно правильно расположить инструмент: иначе отметка может показать неверный отсчёт. Удобнее сначала провести один луч, а затем отложить нужное число градусов от него. После построения классификация сводится к сравнению с 90°.

1. Поставь центр транспортира в вершину будущего угла, а его нулевую отметку совмести с первым лучом.
2. Найди отметки 68°, 90° и 156° на нужной шкале. У каждой отметки поставь точку и проведи из вершины второй луч через эту точку.
3. Сравни меры с 90°: 68° меньше 90°, 90° равно 90°, 156° больше 90°, но меньше 180°.

Ответ: угол 68° острый, 90° прямой, 156° тупой. Если отсчёт начали не от нулевой отметки, построение получится неверным, поэтому перед измерением проверь положение транспортира.

Типичные ошибки

Одна ошибка — определять вид угла по наклону его сторон, не сравнивая раскрытие с прямым углом. Её допускают, когда рисунок выглядит привычно или, наоборот, кажется необычным. Но наклон сторон не задаёт меру угла. Проверь себя сравнением с прямым углом или измерением транспортиром.

Другая ошибка — называть угол в 90° острым или тупым. Так бывает, если помнить только, что острые меньше прямых, а тупые больше, и забыть отдельный случай равенства. Сверь число с определениями: равенство 90° означает прямой угол. Маленький квадратик у вершины тоже часто отмечает именно его.

Иногда считают, что прямой угол должен быть направлен вверх, вниз или в сторону. Такое представление возникает из-за привычных рисунков, где стороны расположены горизонтально и вертикально. Однако поворот листа не меняет угла между лучами. Для проверки представь повёрнутый угольник или измерь угол транспортиром.

Ещё одна ошибка — относить к тупым угол ровно 180° или угол больше 180°. Причина — забытая верхняя граница определения. Тупой угол должен быть строго меньше 180°: проверь это условие вместе с тем, что он больше 90°. Угол в 180° является развёрнутым, а не тупым.

Связь с другими темами

Для изучения углов нужно знать, что такое луч, вершина и градусная мера: без этих понятий нельзя описать стороны и величину поворота. Прямой угол пригодится при знакомстве с перпендикулярными прямыми и прямоугольниками, потому что они связаны с углами в 90°. Сравнение углов и умение работать с транспортиром понадобятся при построениях и решении геометрических задач. Поэтому важно не только запомнить названия, но и научиться проверять меру угла.

Что запомнить

• Прямой угол равен 90°.
• Острый угол больше 0° и меньше 90°.
• Тупой угол больше 90° и меньше 180°.
• Чтобы определить вид угла, сравни его величину с 90°.
• Положение и наклон рисунка не меняют величину угла.
• Нулевой и развёрнутый углы не относятся к острым, прямым или тупым.