Какой угол меньше

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общей начальной точкой. Лучи могут иметь любую длину, но их общая точка и направление образуют определённое раскрытие. Понятие угла нужно, чтобы описывать повороты, части фигур и взаимное положение линий.

Вершина угла — общая начальная точка его лучей. Именно от вершины начинаются обе стороны, поэтому она задаёт место, где сходятся лучи. При обозначении угла вершину называют средней буквой.

Стороны угла — два луча, образующие угол. Их направление показывает, насколько угол раскрыт, а не то, далеко ли продолжаются лучи. По сторонам можно распознать, какую именно фигуру нужно сравнить или обозначить.

Сравнение углов — установление, какой из двух углов меньше, больше или равен ему. Для этого углы сопоставляют наложением, а результат выражают словами или знаками. Такое сравнение помогает расположить несколько углов по величине.

Как это устроено

Угол обозначают тремя буквами, потому что нужно назвать две стороны и вершину. Средняя буква всегда обозначает вершину: в записи ∠ABC это точка B, а стороны — лучи BA и BC. Крайние буквы можно поменять местами и получить ∠CBA, поскольку стороны останутся теми же.

Углы сравнивают наложением, потому что обычное расположение на листе может быть разным. Сначала совмещают вершины, чтобы обе фигуры начинались из одной точки, а затем совмещают одну сторону. После этого положение вторых сторон показывает, какой угол имеет большее раскрытие.

Если при таком наложении одна сторона первого угла оказалась внутри второго угла, а другая сторона не совпала с его стороной, первый угол меньше. Он занимает только часть области, ограниченной сторонами второго угла. Поэтому запись ∠A < ∠B означает, что угол A меньше угла B.

Равенство устанавливают, когда после совмещения вершины и одной стороны совпадает также вторая сторона. Тогда оба угла имеют одинаковое раскрытие, хотя их стороны могли быть разной длины до наложения. В таком случае говорят, что углы равны, и записывают, например, ∠A = ∠B.

Длина сторон не определяет величину угла: короткие лучи могут образовать такой же или больший угол, чем длинные. Представьте два одинаковых раскрытия, у одного лучи заканчиваются близко, а у другого уходят далеко. При сравнении мысленно или физически продолжайте стороны и смотрите на угол между направлениями.

Результаты сравнения углов

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала совместите вершины и одну сторону углов. Затем проверьте, оказался ли другой луч первого угла внутри второго и не совпал ли он с его стороной. Если стороны совпали полностью, углы равны, а если первый угол охватывает второй, то первый больше.

Разбор задач

Задача 1

Условие. На рисунке даны два угла. Определите, какой из них меньше, совместив их вершины и одну сторону. Числовых данных нет, поэтому решение основано на взаимном расположении сторон.

1. Выберите вершины углов и совместите их в одной точке.
2. Совместите одну сторону первого угла с одной стороной второго, направив их в одну сторону.
3. Сравните вторые стороны: та, которая оказалась внутри другого угла, ограничивает меньшее раскрытие.

Ответ. Меньше тот угол, который после наложения полностью помещается внутри другого. Если вторые стороны совпали, углы равны.

Задача 2

Условие. Даны углы ∠ABC и ∠DEF. При наложении вершина B совпала с вершиной E, сторона BA — со стороной ED, а сторона BC оказалась внутри угла DEF. Требуется определить меньший угол.

1. Сопоставьте вершины: B и E совмещены, значит наложение выполнено правильно.
2. Одна сторона каждого угла уже совпала: BA с ED.
3. Луч BC находится внутри угла DEF, поэтому угол ABC занимает меньшую часть раскрытия.

Ответ. ∠ABC < ∠DEF. Сторона BC не совпала со второй стороной большего угла и расположена внутри него.

Задача 3

Условие. Известно, что угол A меньше угла B, а угол B меньше угла C. Нужно сравнить углы A и C. Здесь не требуется накладывать рисунки, потому что порядок уже задан двумя сравнениями.

1. Из условия следует: A меньше B.
2. Также B меньше C.
3. Если A меньше промежуточного угла B, а B меньше C, то A тем более меньше C.

Ответ. Угол A меньше угла C, то есть ∠A < ∠C. Угол B находится между ними по величине.

Типичные ошибки

Сравнивать длины сторон вместо раскрытия угла — ошибка. Её допускают, потому что большой рисунок кажется большим углом. Проверьте себя: мысленно укоротите или продолжите лучи, не меняя их направления.

Нельзя накладывать углы, не совмещая вершины. В таком случае стороны начинаются из разных точек, и их положение не даёт честного сравнения. Перед проверкой убедитесь, что общие начальные точки совпали.

Иногда угол считают меньшим только потому, что он занимает меньше места на странице. Масштаб, поворот и положение фигуры могут создавать такое впечатление. Выполните наложение, а не оценивайте размер изображения глазами.

В записи из трёх букв средняя буква называет вершину, а крайние — точки на сторонах. Если назвать буквы в неправильном порядке или выбрать не ту среднюю букву, получится другой угол или неточное обозначение. Проверьте, что вершина действительно стоит в центре записи.

Связь с другими темами

До изучения сравнения углов нужно знать, что такое точка и луч, где находится начальная точка луча и как обозначают геометрические фигуры. Эти понятия помогают правильно увидеть вершину и стороны угла.

Позже сравнение связано с градусной мерой угла и транспортиром. Наложение даёт качественный результат, а измерение транспортиром позволяет узнать точное число градусов и определить вид угла.

Сравнение углов используют при построении геометрических фигур и доказательстве их свойств. Оно помогает устанавливать, какие части фигуры равны, а какие расположены под большим или меньшим раскрытием.

Что запомнить

• Угол состоит из двух лучей с общей начальной точкой.
• Общая начальная точка лучей называется вершиной угла.
• Стороны угла — это образующие его лучи.
• Углы сравнивают наложением.
• Меньший угол при наложении помещается внутри большего.
• Если углы полностью совпадают при наложении, они равны.
• Длина сторон не определяет, какой угол меньше.