Угол

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Лучи не только задают границу: они ограничивают часть плоскости, которую также рассматривают как угол. Поэтому при изучении угла важно замечать и его стороны, и область между ними. Это понятие помогает описывать взаимное направление лучей и формы геометрических фигур.

Вершина угла — общая точка, из которой начинаются оба луча. Например, если лучи OA и OB имеют общее начало O, то O — вершина угла. Вершина нужна, чтобы отличать её от других точек, лежащих на сторонах. По общей точке также удобно строить обозначение угла.

Стороны угла — лучи, образующие этот угол. Если угол образован лучами OA и OB, его сторонами являются именно лучи OA и OB, а не только их участки между точками O, A и B. Луч продолжается бесконечно в одном направлении, поэтому точки на нём помогают назвать сторону, но не обрывают её. Это различие важно при чтении чертежей.

Угол обозначают записью ∠AOB: буквы A и B называют точки на его сторонах, а O обозначает вершину. Буква вершины стоит посередине, потому что именно она общая для двух лучей и должна отделять названия сторон. Если около O изображён только один угол, допустима краткая запись ∠O. Когда углов с вершиной O несколько, одной буквы недостаточно.

Как это устроено

Чтобы получить угол, достаточно провести из одной точки два луча. Их общее начало становится вершиной, а каждый луч задаёт одну сторону; вместе стороны ограничивают область плоскости между ними. Если представить, что лучи — это границы, то часть плоскости между границами и есть область угла. Именно поэтому угол можно рассматривать не только как пару лучей, но и как фигуру вместе с этой областью.

В записи ∠AOB средняя буква показывает, где находится общее начало лучей, а крайние буквы указывают точки на сторонах. Так запись связывает имя угла с его устройством: вершина — O, стороны проходят через A и B. Если переставить O к краю, запись уже не будет следовать принятому правилу и её можно прочитать неверно. Поэтому перед чтением обозначения найди среднюю букву, а затем определи точки на сторонах.

Угол можно понимать как фигуру, составленную из двух лучей, и как часть плоскости, ограниченную этими лучами. Эти способы описания не противоречат друг другу: лучи задают границы, а область между ними показывает, какую часть плоскости рассматривают. На чертеже область иногда выделяют дугой или цветом, чтобы было ясно, о каком угле идёт речь. Без такого выделения при нескольких углах у одной вершины может понадобиться более точное обозначение.

Если два угла имеют одну вершину и одинаковые стороны, они совпадают, даже когда на чертежах выглядят по-разному. Например, один рисунок можно повернуть или изменить длину нарисованных лучей: направление сторон от этого не изменится. Значит, для совпадения важны общая вершина и направления сторон, а не размер картинки или длина лучей на бумаге. Это позволяет сравнивать геометрические фигуры независимо от того, как их изобразили.

Когда из одной вершины выходят три или больше лучей, из них можно составить несколько углов. Чтобы различать их, называют точки на нужных сторонах: пара лучей OA и OB задаёт один угол, а пара OB и OC — другой. Средняя буква в каждом обозначении остаётся O, поскольку вершина у этих углов общая. Так точки на сторонах показывают, какие именно лучи выбраны.

Виды углов по величине

Чтобы определить вид угла, сравни его с прямым, мера которого равна 90°. Острый меньше прямого, а тупой больше него, но не достигает развёрнутого угла в 180°. Таблица помогает сначала оценить величину, а затем назвать угол.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены точки A, O и B, причём лучи OA и OB имеют общее начало. Нужно назвать вершину и стороны угла. Начнём с общей точки, поскольку именно она определяет вершину, а затем назовём два луча, которые её образуют. Точки A и B помогают обозначить стороны, но не заменяют сами лучи.

1. Сравним начала лучей OA и OB: оба начинаются в O.
2. Значит, O — общая точка и вершина угла.
3. Сторонами являются лучи OA и OB.

Ответ: вершина — O, стороны — лучи OA и OB. Проверка проста: вершина должна быть общим началом обеих сторон, а не любой точкой на одном из лучей. Поэтому A и B здесь не вершины.

Задача 2. Запишите угол с вершиной O, стороны которого проходят через точки A и C. Назовите ещё одно возможное обозначение, если на рисунке указан только один угол с вершиной O. Сначала нужно поставить буквы точек на сторонах по краям, а вершину — между ними. Краткая запись подходит только тогда, когда нельзя спутать этот угол с другим.

1. Точки на сторонах — A и C, поэтому ставим их по краям записи.
2. Между ними помещаем букву вершины O: получаем ∠AOC.
3. Если угол с вершиной O на рисунке только один, можно написать ∠O.

Ответ: ∠AOC; при отсутствии неоднозначности — ∠O. Средняя буква в полной записи позволяет проверить, что вершиной названа именно O. Если с вершиной O связаны другие углы, оставляем обозначение из трёх букв.

Задача 3. Из общей вершины O выходят лучи OA, OB и OC. Нужно указать углы, образованные парами OA и OB, OB и OC, OA и OC. В каждой паре общая точка уже известна, поэтому остаётся назвать точки на сторонах и расположить O посередине. Так для каждой пары получится отдельное обозначение.

1. Для лучей OA и OB записываем ∠AOB.
2. Для лучей OB и OC записываем ∠BOC.
3. Для лучей OA и OC записываем ∠AOC.

Ответ: ∠AOB, ∠BOC и ∠AOC соответственно. Во всех трёх записях O стоит в середине, потому что это общая вершина. Крайние буквы различаются и показывают, какие стороны образуют каждый угол.

Типичные ошибки

Ошибка: назвать вершиной точку A или B, лежащую на стороне угла. Так бывает, когда замечают букву рядом с лучом, но не проверяют, откуда начинаются оба луча. Вершиной может быть только их общее начало. Для проверки проследи каждый луч назад: оба должны прийти в одну и ту же точку.

Ошибка: считать сторонами угла отрезки OA и OB, заканчивающиеся в отмеченных точках. На рисунке видны лишь короткие участки лучей, поэтому их легко принять за отрезки. Но сторона угла — луч, который продолжается за точку A или B в том же направлении. Проверь себя: луч имеет начало, но не имеет конца.

Ошибка: записать угол тремя буквами так, что буква вершины окажется не посередине, например ∠OAB для угла с вершиной O. Путаница возникает, если просто перечислить все буквы с рисунка, не учитывая их роли. В записи из трёх букв средняя буква всегда обозначает вершину. Найди общее начало сторон и поставь его букву в середину.

Ошибка: обозначить углы с общей вершиной одной буквой. Так делают ради краткости, хотя по записи ∠O нельзя понять, какой из нескольких углов выбран. Используй обозначение из трёх букв с точками на нужных сторонах. Проверка: если у вершины можно выбрать больше одного угла, короткая запись неоднозначна.

Связь с другими темами

Для изучения угла нужно знать, что такое точка, прямая и луч, а также уметь обозначать их буквами. Понятие луча особенно важно: именно два луча с общим началом задают стороны угла. Если вспомнить, где у луча начало и в каком направлении он продолжается, легче правильно определить вершину и стороны.

Углы используют при изучении их измерения, многоугольников и геометрических построений. Измерение позволяет сравнивать углы не только на глаз, а многоугольники состоят из сторон и углов. При построениях важно точно задавать направления лучей, поэтому верное обозначение помогает не перепутать нужные стороны.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общее начало лучей — вершина угла.
• Лучами, образующими угол, являются его стороны.
• В записи ∠AOB буква O обозначает вершину.
• Букву вершины в обозначении из трёх букв ставят посередине.
• Одной буквой угол обозначают только тогда, когда его можно определить однозначно.