§11. Угол

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало лучей называется вершиной угла. Угол показывает направление раскрытия между двумя лучами, поэтому его используют для описания поворотов и частей геометрических фигур.

Вершина угла — общая начальная точка двух лучей. На чертеже её обозначают заглавной латинской буквой, например O. По этой точке можно понять, откуда выходят обе стороны угла.

Стороны угла — лучи, образующие угол. Они начинаются в одной вершине и продолжаются неограниченно, даже если на рисунке изображены короткими линиями. Знание сторон помогает правильно назвать угол и измерить его.

Градусная мера угла — число, показывающее величину поворота между его сторонами. Её записывают числом с маленьким кружком: 30°, 90°, 120°. Чем сильнее раскрыты стороны, тем больше градусная мера, независимо от длины лучей.

Как это устроено

Если из одной точки провести два луча, они образуют угол. У каждого луча есть общее начальное место — вершина, а дальше лучи расходятся в разных направлениях. Углом называют не только два луча, но и часть плоскости между ними, потому что именно это пространство показывает раскрытие фигуры.

Угол обозначают буквами так, чтобы можно было отличить его от других углов. Если рядом изображён только один угол, иногда достаточно буквы вершины. Чаще используют три буквы: первая и третья обозначают точки на сторонах, а буква вершины обязательно стоит в середине, например ∠AOB; также угол можно обозначить номером.

Чтобы измерить угол транспортиром, сначала находят его вершину. Центр транспортира совмещают с вершиной, а одну сторону угла — с нулевой отметкой. Затем выбирают шкалу, которая начинается с этого нуля, и считывают число у второй стороны угла.

Величина угла зависит от того, насколько раскрыты его стороны. Если оба луча продлить или укоротить, направление не изменится, поэтому градусная мера останется прежней. Значит, два угла могут иметь стороны разной длины, но быть равными, если их раскрытие одинаково.

Углы сравнивают с прямым углом, равным 90°. Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, тупой больше 90°, но меньше 180°, а развёрнутый равен 180°. Такое сравнение помогает определить вид угла даже тогда, когда его величина ещё не измерена точно.

Виды углов по градусной мере

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала найдите градусную меру угла или сравните его с прямым углом. Затем выберите строку, подходящую по условию. Если мера неизвестна, угол можно измерить транспортиром.

Обратите внимание на границы: угол 90° является прямым, а угол 180° — развёрнутым. Значения между 90° и 180° относятся к тупым углам.

Разбор задач

Задача 1. Название элементов угла

На чертеже отмечены точка O и два луча OA и OB с общим началом. Назовите вершину и стороны угла.

1. Смотрим, из какой точки начинаются оба луча. Это точка O.
2. Общее начало двух лучей является вершиной, поэтому вершина угла — O.
3. Называем лучи по их началу и ещё одной точке на каждом луче: OA и OB.

Ответ: вершина угла — точка O, стороны — лучи OA и OB. Сам угол можно обозначить как ∠AOB или ∠BOA, потому что вершина O в обоих обозначениях стоит в середине.

Задача 2. Измерение угла

Измерьте транспортиром угол ABC и определите, является ли он острым, прямым или тупым.

1. Находим вершину угла — точку B, потому что она стоит в середине обозначения ABC.
2. Совмещаем центр транспортира с точкой B, а сторону BA — с нулевой отметкой.
3. Считываем число на шкале, начинающейся с выбранного нуля, у стороны BC.
4. Сравниваем результат с 90°: меньше — угол острый, равно 90° — прямой, больше 90° — тупой.

Ответ: вид угла определяют по полученной градусной мере. Например, результат 65° означает, что угол острый, а результат 110° — что он тупой.

Задача 3. Построение угла и биссектрисы

Постройте угол величиной 120° и проведите его биссектрису, разделив угол на две равные части.

1. Проводим луч OA и помещаем центр транспортира в точку O.
2. На шкале, начинающейся от луча OA, отмечаем точку напротив 120°, затем проводим из O второй луч OB.
3. Биссектриса — луч, который делит угол на две равные части. Находим направление посередине между сторонами и проводим из O луч OC.
4. Проверяем результат: каждый полученный угол должен быть равен 60°, потому что 120° : 2 = 60°.

Ответ: построен угол AOB величиной 120°, а луч OC делит его на два угла по 60°.

Типичные ошибки

Иногда стороной угла называют отрезок, потому что на рисунке видна только короткая линия. Это ошибка: сторона угла является лучом и продолжается неограниченно от вершины. Проверьте себя вопросом: есть ли у линии начальная точка и может ли она продолжаться в одном направлении?

При записи тремя буквами ученики могут поставить вершину первой или последней. Так теряется правильное обозначение, потому что вершина должна быть средней буквой. Найдите общую начальную точку сторон и поставьте её название в середину.

Неверный результат часто получают, если центр транспортира находится не на вершине или сторона не совпадает с нулевой отметкой. Тогда шкала отсчитывается не от исходной стороны угла. Перед чтением проверьте одновременно центр, ноль и выбранную шкалу.

Угол с длинными сторонами иногда считают большим углом. Длина лучей не меняет их направления и поэтому не влияет на градусную меру. Сравнивайте только раскрытие сторон, а не расстояние, на которое они нарисованы.

Связь с другими темами

До изучения угла нужно уметь различать точку, прямую, луч и отрезок. Особенно важно помнить, что луч имеет начало, но не имеет конца, а отрезок ограничен двумя точками. Это помогает правильно определить стороны угла.

Углы встречаются в треугольниках, многоугольниках и других геометрических фигурах. По углам можно описывать форму фигуры и сравнивать её части. Поэтому понятие угла понадобится при дальнейшем изучении геометрии.

Транспортир нужен не только для измерения, но и для построения углов. Умение правильно расположить инструмент пригодится в чертежах и задачах, где требуется получить заданную градусную меру.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общее начало лучей называется вершиной угла.
• Стороны угла — лучи, а не отрезки.
• В обозначении угла из трёх букв вершина стоит в середине.
• Градусную меру угла измеряют транспортиром.
• Прямой угол равен 90°, развёрнутый — 180°.
• Длина сторон не меняет величину угла.