Угол

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Например, два луча могут начинаться в точке O и расходиться в разные стороны. Угол помогает описать, насколько раскрыта эта фигура, и встречается при изучении геометрических фигур.

Вершина угла — общая начальная точка двух лучей. Если лучи начинаются в точке O, то O — вершина угла. На чертеже её отмечают точкой, а буквенное обозначение рядом помогает не перепутать её с другими точками.

Стороны угла — лучи, которые образуют угол и выходят из одной вершины. Если лучи начинаются в O и проходят через точки A и B, стороны можно назвать лучами OA и OB. Названия сторон нужны, чтобы точно указать, какие именно лучи образуют угол.

Угол обозначают одной буквой у вершины или тремя буквами, причём буква вершины стоит посередине. Например, угол с вершиной O можно обозначить ∠O, а если стороны проходят через A и B — ∠AOB. Средняя буква показывает, где находится вершина, поэтому такая запись помогает различать углы на одном чертеже.

Как это устроено

Чтобы получить угол, начни с одной точки и проведи из неё два луча. Точка становится вершиной, потому что именно в ней начинаются оба луча, а лучи — сторонами, потому что они ограничивают раскрытие угла. Если лучи не лежат на одной прямой, между ними образуется часть плоскости, которую тоже называют углом. Так мы видим не только линии, но и пространство между ними.

Угол можно представить как часть плоскости между его сторонами. Такое представление удобно, когда нужно показать, о какой области идёт речь, а не только назвать два луча. На чертеже нужную часть обычно отмечают небольшой дугой около вершины. Дуга не является стороной угла: она лишь показывает, какое раскрытие нужно рассматривать.

Если у вершины есть несколько лучей, одной буквы может оказаться недостаточно: она укажет место, но не всегда поможет понять, какой угол выбран. Тогда используют три буквы и помещают название вершины в середину. Например, в записи ∠ABC средняя буква B означает, что вершина находится в B, а крайние буквы указывают на направления сторон. Это правило не даёт спутать угол с другим углом при той же вершине.

На рисунке важно отличать сам угол от его частей. Точка, где сходятся лучи, — вершина, а выходящие из неё линии — стороны; область между сторонами показывает раскрытие угла. На геометрическом рисунке лучи иногда изображают короткими отрезками, чтобы чертёж поместился на листе. Но продолжение такого отрезка мысленно остаётся лучом, поэтому концы нарисованных отрезков не становятся вершиной.

Сравнивать углы можно на глаз, если раскрытие заметно различается, или наложением. При наложении совмещают вершины и одну сторону, а затем смотрят, где расположена вторая сторона сравниваемого угла. Если она раскрыта дальше, угол больше; если ближе — меньше. Длина нарисованных сторон этому сравнению не помогает: важно направление лучей, а не то, насколько далеко их провели.

Виды углов по величине

Сначала найди прямой угол — например, у угла листа бумаги. Затем сравнивай с ним раскрытие нужного угла: меньшее будет острым, большее — тупым. Развёрнутый угол узнают по прямой линии, а прямой — по равенству углу квадрата.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены два луча с общей точкой O. Первый луч проходит через A, второй — через B. Нужно назвать вершину и стороны получившегося угла. Сначала найди, откуда начинаются оба луча: эта точка не зависит от того, как далеко лучи проведены.

1. Найди точку, в которой начинаются оба луча.
2. Назови эту точку: это вершина угла O.
3. Запиши лучи, образующие угол: OA и OB.

Ответ: вершина угла — O, стороны — лучи OA и OB. Проверка простая: обе названные стороны должны начинаться в O. Если начало одной из них указано в другой точке, стороны названы неверно.

Задача 2. Угол имеет вершину B и стороны BA и BC. Требуется записать его название тремя буквами. В записи должны быть указаны точки, задающие стороны, а вершина должна занять середину. Это помогает однозначно прочитать название.

1. Выпиши точки, через которые проходят стороны: A и C.
2. Поставь между ними букву вершины B.
3. Добавь знак угла перед получившейся записью.

Ответ: ∠ABC. Буква B стоит посередине, потому что она обозначает вершину. Запись ∠BAC не подходит: в ней вершиной была бы точка A, а не B.

Задача 3. На рисунке показаны острый, прямой и тупой углы. Нужно определить вид каждого, сравнив раскрытие с прямым углом. Не измеряй длину нарисованных сторон: она может быть разной и не показывает величину угла.

1. Найди прямой угол: он равен углу квадрата.
2. Угол с меньшим раскрытием назови острым.
3. Угол с таким же раскрытием назови прямым, а с большим — тупым.

Ответ: угол меньше прямого — острый, равный ему — прямой, больший — тупой. Сравнивай именно расстояние поворота от одной стороны к другой, а не длину линий. Если на глаз трудно решить, можно сравнить углы наложением.

Типичные ошибки

Иногда вершиной называют конец только одной стороны. Так происходит, когда смотрят на один луч и не проверяют начало второго. Вершина — общая начальная точка обеих сторон, поэтому проверь, что оба луча выходят именно из неё.

При записи тремя буквами букву вершины иногда ставят первой или последней. Тогда название может указывать на другой угол, потому что средняя буква обозначает вершину. Чтобы проверить себя, сначала найди точку, где сходятся стороны, и только после этого запиши её между двумя другими буквами.

Длинные стороны могут показаться признаком большего угла. Эту ошибку допускают, когда сравнивают длину линий, а не раскрытие между ними. Представь, что стороны укоротили, не меняя их направления: угол останется прежним, поэтому для сравнения совмещай вершины и одну сторону.

Острый и тупой углы иногда путают, если пытаться определить их вид без опоры. Острый меньше прямого, а тупой больше прямого, поэтому одного сравнения достаточно. Если сомневаешься, приложи к рисунку прямой угол, например угол листа, и проверь, раскрытие меньше или больше.

Связь с другими темами

Для работы с углами нужно уметь распознавать точку и луч, а также читать буквенные обозначения. Без этого трудно определить, где находится вершина и какие линии образуют угол. Повторение этих понятий помогает правильно называть фигуры.

Углы входят в состав треугольников и других многоугольников, поэтому их распознавание нужно при изучении этих фигур. Позже углы измеряют транспортиром, и понимание вершины и сторон помогает правильно приложить прибор. Тогда можно не только сравнивать углы, но и находить их величину.

Прямой угол помогает изучать перпендикулярные прямые. Две прямые называют перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямые углы. Поэтому умение находить прямой угол пригодится при чтении чертежей и построении фигур.

Что запомнить

• Угол образован двумя лучами с общим началом.
• Общее начало лучей — вершина угла.
• Лучи, образующие угол, — его стороны.
• В обозначении угла тремя буквами буква вершины стоит посередине.
• Длина сторон не определяет величину угла.
• Острый угол меньше прямого, тупой — больше прямого.