11.1. Что такое двугранный угол?

Определения и обозначения

Двугранный угол — это фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Полуплоскость получается, когда прямая делит плоскость на две части, и одна из этих частей берётся вместе с граничной прямой. Такое определение нужно, чтобы отличать двугранный угол от обычного плоского угла.

Полуплоскости, образующие двугранный угол, называют его гранями. Грань — это не тонкая поверхность и не плоский угол, а часть плоскости по одну сторону от прямой. Слово «грань» помогает назвать каждую из двух частей фигуры.

Общую граничную прямую граней называют ребром двугранного угла. Обе полуплоскости имеют именно эту прямую как границу, поэтому она принадлежит сразу обеим граням. Ребро показывает, где грани соединяются и вокруг какой линии можно менять их положение.

Как это устроено

Сначала представим прямую a на плоскости. Она делит плоскость на две полуплоскости, но для двугранного угла нужны две полуплоскости, расположенные не в одной плоскости, а как будто раскрытые в пространстве. Обе имеют одну и ту же граничную прямую a, поэтому вместе образуют двугранный угол. Если общей прямой нет, части не соединены правильно и такой фигуры не получится.

У двугранного угла две грани, потому что в его образовании участвуют две полуплоскости. У них только одна общая граничная прямая, поэтому общее ребро одно. Остальные точки одной грани не обязаны принадлежать другой: грани могут расходиться в разные стороны от ребра.

Двугранный угол легко представить по раскрытой книге. Две обложки или страницы похожи на полуплоскости, а линия сгиба похожа на их общую граничную прямую. Поэтому книга, раскрытая шире или уже, даёт наглядную модель двугранного угла. Это сравнение не означает, что страницы являются бесконечными полуплоскостями, но оно помогает увидеть две грани и место их соединения.

Если одну грань повернуть вокруг ребра, угол между гранями изменится: он станет более раскрытым или более закрытым. При этом граней по-прежнему будет две, а ребром останется та же общая прямая. Значит, меняется положение граней, но не основные части двугранного угла. Именно поэтому важно сначала найти грани и ребро, а уже потом оценивать его раскрытие.

Части двугранного угла

В таблице сначала находите название части, затем проверяете её определение. По третьему столбцу удобно узнавать эту часть на схематическом рисунке.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке изображены две полуплоскости с общей прямой. Назовите двугранный угол, его грани и ребро. Обозначим полуплоскости буквами α и β, а общую прямую — буквой a.

1. Проверяем, что α и β являются полуплоскостями, а не отдельными плоскими углами.
2. Находим линию, которая служит границей и для α, и для β. Это прямая a.
3. Называем фигуру двугранным углом, образованным гранями α и β, с ребром a.

Ответ: двугранный угол образуют полуплоскости α и β, его грани — α и β, а ребро — общая прямая a. Главное в решении — искать не любую линию на рисунке, а именно общую границу двух полуплоскостей.

Задача 2

Книга раскрыта, а её корешок обозначен прямой. Укажите, какие части модели соответствуют граням и ребру двугранного угла. Нужно сопоставить реальные части книги с элементами определения.

1. Находим две плоские части книги, которые раскрываются в разные стороны. Они соответствуют двум граням.
2. Находим линию корешка, вдоль которой эти части соединены. Она соответствует общей граничной прямой.
3. Называем эту линию ребром двугранного угла.

Ответ: страницы или обложки соответствуют граням, а корешок — ребру. Модель удобна тем, что сразу показывает две поверхности и одну линию их соединения.

Задача 3

Изобразите двугранный угол и обозначьте его грани полуплоскостями α и β, а ребро — прямой a. На рисунке нужно передать не только две поверхности, но и их общую границу.

1. Проведите прямую a, которая будет общей границей.
2. По разные стороны от этой прямой изобразите две полуплоскости и подпишите их α и β.
3. Проверьте, что обе полуплоскости имеют одну и ту же граничную прямую a.

Ответ: получена схема двугранного угла с гранями α и β и ребром a. Если изображены две поверхности без общей линии, рисунок нужно исправить, потому что главный признак фигуры не выполнен.

Типичные ошибки

Ошибка: называть ребром одну из граней. Так происходит из-за того, что на рисунке грань может выглядеть как крайняя часть фигуры. Проверьте себя: грань — полуплоскость, а ребро — общая прямая.

Ошибка: считать двугранный угол двумя плоскими углами. Такое представление возникает из-за похожего слова «угол», но гранями здесь являются полуплоскости. Спросите себя, видны ли две поверхности, а не только два луча.

Ошибка: изображать грани без общей граничной прямой. Две отдельные поверхности не образуют двугранный угол, потому что у них нет общего ребра. Для проверки найдите линию, принадлежащую границе обеих граней.

Ошибка: путать ребро с отрезком на рисунке. На чертеже длинную прямую часто показывают только видимой частью, поэтому получается отрезок. Помните: в определении ребро — прямая, а отрезок лишь помогает изобразить её.

Связь с другими темами

До изучения двугранного угла нужно знать, что такое прямая, полуплоскость и плоский угол. Эти понятия помогают понять, из каких частей составлена новая пространственная фигура. Особенно важно помнить, что полуплоскость имеет граничную прямую.

Двугранные углы встречаются при изучении многогранников и других пространственных фигур. Например, у многогранника его грани могут образовывать двугранные углы. Поэтому умение находить грань и ребро пригодится при разборе таких тел.

Что запомнить

• Двугранный угол образуют две полуплоскости с общей граничной прямой.
• Полуплоскости называют гранями двугранного угла.
• Общую граничную прямую называют ребром двугранного угла.
• У двугранного угла две грани и одно ребро.
• Раскрытая книга помогает представить двугранный угол.