11.2. Что такое плоский угол?

Определения и обозначения

Плоский угол — часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общей начальной точкой. Представь два луча, выходящих из одной точки: они выделяют часть плоскости, которую и называют углом. Это определение помогает понять, что угол — не просто рисунок из двух линий, а геометрическая фигура.

Вершина угла — общая начальная точка двух лучей, образующих угол. Она показывает, откуда начинаются обе стороны. Понятие вершины нужно, чтобы правильно назвать угол и отличить его от других углов на чертеже.

Стороны угла — два луча, выходящие из одной точки и ограничивающие угол. Луч начинается в вершине и продолжается в одном направлении без конца. Если знать стороны, можно определить, какой именно угол образован и где проходит его граница.

Обозначение угла — запись со знаком ∠; при названии тремя буквами вершину пишут в середине. Например, в записи ∠ABC вершина — B, а точки A и C лежат на сторонах. Такое правило позволяет не перепутать вершину и части угла, когда на рисунке несколько фигур.

Как это устроено

Чтобы получить угол, проводят два луча из одной точки. Лучи могут расходиться в разных направлениях и вместе выделяют часть плоскости. Она может быть широкой или узкой, но в любом случае у угла остаются две стороны и общая вершина. Поэтому для построения угла достаточно выбрать точку и провести из неё два луча.

Общая начальная точка называется вершиной потому, что именно в ней сходятся и начинаются обе стороны. Сами стороны — лучи: каждый из них имеет начало, но не имеет конца. Название «стороны» удобно, потому что эти лучи ограничивают угол с двух сторон. Если у двух лучей нет общей начальной точки, они не образуют угол в таком определении.

Углом считается не только пространство между лучами, но и сами лучи, которые его ограничивают. Если оставить лишь область между ними, границы фигуры окажутся исключены, хотя именно по ним мы узнаём, где угол начинается и заканчивается. Поэтому вершина и обе стороны входят в состав угла. На рисунке внутреннюю область часто показывают дугой или закрашивают, чтобы её было проще заметить.

Угол можно назвать по вершине, если в этой точке изображён только один угол и путаницы не возникнет. Когда углов несколько или нужно назвать фигуру точнее, используют три буквы и ставят вершину в середину: ∠ABC. Буквы A и C указывают точки на сторонах, а B показывает общую начальную точку лучей. Перед буквами обязательно пишут знак ∠, чтобы обозначение не приняли за название отрезка.

Развёрнутый угол узнают по положению его сторон: это противоположные лучи, лежащие на одной прямой. Они имеют общую начальную точку, но направлены в разные стороны, поэтому вместе образуют прямую линию. Если лучи не лежат на одной прямой или направлены в одну сторону, угол не является развёрнутым. Такая проверка помогает распознать его по чертежу, даже если нет измерений.

Элементы плоского угла и их обозначения

Сначала найдите общую начальную точку лучей — это вершина, затем определите сами лучи и область между ними. При чтении названия из трёх букв проверяйте, что средняя буква совпадает с вершиной на чертеже. Краткое обозначение одной буквой используйте только тогда, когда ясно, какой угол имеется в виду.

Разбор задач

Задача 1. Угол образован лучами OA и OB. Назовите его вершину и стороны. Чтобы ответить, не нужно искать середину рисунка или измерять угол: достаточно посмотреть, откуда начинаются оба луча. Общая начальная точка и есть вершина.

1. Сравним начала лучей OA и OB: оба начинаются в точке O.
2. Значит, вершина угла — O.
3. Сторонами являются сами лучи OA и OB, а не отрезки OA и OB.

Ответ: вершина — O, стороны — лучи OA и OB. Запись ∠O возможна, если на рисунке нет другого угла с вершиной O и не возникает путаницы.

Задача 2. Запишите всеми возможными способами обозначение угла с вершиной B, если на его сторонах отмечены точки A и C. Здесь важны и вершина, и точки, указывающие направления сторон. При записи тремя буквами нужно расположить их так, чтобы B оказалось посередине.

1. Одной буквой угол можно обозначить как ∠B, если известно, что речь идёт именно об этом угле.
2. Для записи тремя буквами поставим вершину B в середину.
3. Точки A и C на сторонах можно указать в обоих порядках: ∠ABC и ∠CBA.

Ответ: ∠B, ∠ABC и ∠CBA, если краткое обозначение не вызывает неоднозначности. Средняя буква в каждом трёхбуквенном названии — B, поэтому вершина указана правильно.

Задача 3. Постройте угол ABC и развёрнутый угол MON. Для каждого укажите вершину и стороны. Сначала строим лучи с общей начальной точкой, затем проверяем их положение: у обычного угла лучи могут расходиться под разными направлениями, а у развёрнутого должны составлять одну прямую.

1. Для ∠ABC отметим точку B и проведём из неё два луча через точки A и C.
2. Вершина первого угла — B, его стороны — лучи BA и BC.
3. Для развёрнутого ∠MON проведём прямую через точку O и расположим M и N по разные стороны от неё.
4. Вершина второго угла — O, его стороны — лучи OM и ON; они лежат на одной прямой и направлены противоположно.

Ответ: ∠ABC имеет вершину B и стороны BA и BC. ∠MON имеет вершину O и стороны OM и ON, которые являются противоположными лучами.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать вершиной первую или последнюю букву в названии из трёх букв. Так бывает, когда читают обозначение слева направо и не применяют правило о средней букве. Проверь себя: в ∠ABC вершина — B, потому что эта буква стоит между двумя другими.

Вторая ошибка — называть сторонами угла прямые или отрезки. На чертеже лучи могут быть изображены короткими линиями, поэтому их легко принять за отрезки. Проверь, что у каждой стороны есть начало в вершине и продолжение в одном направлении: сторона угла — именно луч.

Третья ошибка — считать углом только область между лучами и не включать границы. Её допускают, потому что на рисунке внутреннюю часть часто выделяют дугой или цветом. Проверь себя: полное определение включает часть плоскости вместе с двумя ограничивающими её лучами.

Четвёртая ошибка — путать угол с его вершиной. Точка заметна на рисунке, но сама по себе она не показывает ни стороны, ни область между ними. Чтобы проверить ответ, найди два луча, выходящие из точки: только вместе с ними и частью плоскости точка образует угол.

Связь с другими темами

Для изучения углов нужны понятия точки, прямой, луча, отрезка и плоскости. Если луч пока трудно отличить от отрезка, вспомни: у луча есть начало, но нет конца. Эти знания помогают правильно увидеть границы угла и определить его вершину.

Понятие угла понадобится, когда ты начнёшь измерять углы транспортиром и изучать их виды. Чтобы измерить угол, нужно понимать, какие стороны задают его положение и где находится вершина. Умение распознавать угол также нужно при построении биссектрисы, треугольников и других геометрических фигур.

Что запомнить

• Плоский угол образуют два луча с общей начальной точкой.
• Общая начальная точка лучей называется вершиной угла.
• Два луча, образующие угол, называются его сторонами.
• Вершину обозначают одной буквой или средней буквой в названии из трёх букв.
• Знак угла — ∠.
• У развёрнутого угла стороны — противоположные лучи, лежащие на одной прямой.