11.3. Как можно получить угол?

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Лучи вместе с точкой начала задают эту фигуру, а не только её границы. Между лучами находится часть плоскости, поэтому угол включает и её. Это определение помогает распознавать угол на чертеже и в окружающих предметах.

Вершина угла — общая точка начала двух лучей. Например, если лучи OA и OB начинаются в точке O, то O — вершина угла. Она указывает, где сходятся стороны угла. Чтобы найти вершину, достаточно отыскать общую точку начала лучей.

Стороны угла — лучи, образующие его. В угле, заданном лучами OA и OB, сторонами будут луч OA и луч OB. Стороны показывают направления, между которыми расположен угол. Их обозначают названиями лучей, а не просто отрезками от вершины.

Внутренняя область угла — часть плоскости между его сторонами. Она находится внутри раскрытия, образованного лучами, и не совпадает с самими лучами. Поэтому угол нельзя представлять только двумя линиями: к фигуре относится и область между ними. Это нужно учитывать, когда угол изображают или описывают.

Как это устроено

Угол можно получить, проведя из одной точки два луча. Их общая точка начала становится вершиной, потому что именно в ней сходятся обе границы фигуры. Сами лучи становятся сторонами и задают направления, между которыми расположена внутренняя область. Например, если из точки O провести лучи OA и OB, получится угол с вершиной O.

Угол возникает и при пересечении двух прямых. В точке пересечения каждая прямая продолжается в обе стороны, поэтому от точки отходят четыре луча. Соседние лучи образуют границы областей плоскости, и между ними видны углы. Так появляются четыре угла вокруг точки пересечения, а не один: прямые разделяют пространство на несколько частей.

Представить угол можно как результат поворота луча вокруг его начала. Луч сначала занимает одно положение, а после поворота — другое; эти положения становятся сторонами угла. Точка поворота остаётся общей точкой начала лучей, поэтому она является вершиной. Такой способ помогает увидеть, почему угол связан с направлением движения.

Величина поворота влияет на то, насколько раскрыт угол. При большем повороте конечное положение луча может оказаться дальше от начального направления, но общая точка начала остаётся той же. Поэтому меняется раскрытие угла, а вершина сохраняется. Если начальное и конечное положения луча заданы, они определяют стороны полученного угла.

Один и тот же угол можно изобразить по-разному. Его стороны можно нарисовать короткими или длинными лучами, не меняя направлений, а область между ними можно выделить дугой — изогнутой отметкой. Дуга лишь помогает увидеть, какой угол рассматривают, и не становится его стороной. Длина нарисованных лучей сама по себе не меняет раскрытия фигуры.

Способы получить угол

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала выбери способ получения угла, а затем найди его стороны и вершину. Сравни, что именно образует фигуру в каждом случае: лучи, части прямых или положения повернутого луча. Во всех трёх случаях у угла есть две стороны с общим началом и область между ними.

Разбор задач

1. Лучи из точки O

Из точки O проведены лучи OA и OB. Назовите вершину и стороны полученного угла. Нужно проверить, где начинаются лучи, а затем перечислить сами лучи, которые ограничивают угол. Не следует принимать обозначения A и B за вершину: они указывают другие точки на лучах.

1. Найдём общую точку начала лучей OA и OB: это точка O.
2. Общая точка начала двух лучей является вершиной угла.
3. Назовём оба луча, которые образуют угол: OA и OB.

Ответ: вершина — O, стороны — лучи OA и OB. Между сторонами находится внутренняя область угла. Такой ход подходит и для других задач, где угол задан двумя лучами.

2. Пересечение двух прямых

Две прямые пересекаются в точке P. Сколько углов можно увидеть вокруг точки пересечения? Представим, что каждая прямая продолжается в обе стороны через P. Так мы увидим все лучи и области между соседними лучами, а не только одну часть чертежа.

1. В точке P первая прямая делится на два луча, направленных в противоположные стороны.
2. Вторая прямая также образует два луча с началом P.
3. Соседние лучи ограничивают области вокруг точки; всего вокруг P таких областей четыре.

Ответ: вокруг точки пересечения можно увидеть четыре угла. Каждый угол находится между парой соседних лучей. Подсчёт всех четырёх областей помогает не пропустить углы, расположенные по разные стороны от точки.

3. Поворот луча

Луч OA повернули вокруг точки O, и он занял положение OB. Опишите полученный угол и укажите его вершину и стороны. Чтобы решить задачу, нужно связать два положения луча с границами фигуры. Точка, вокруг которой происходил поворот, не перемещалась и служит общей точкой этих сторон.

1. Запишем начальное положение луча: OA.
2. Запишем положение после поворота: OB. Начальное и конечное положения задают стороны полученного угла.
3. Установим их общую точку начала: это O, значит, она является вершиной.

Ответ: получился угол со сторонами OA и OB и вершиной O. Поворот объясняет, как луч перешёл из одного положения в другое. Раскрытие угла связано с величиной этого поворота.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать углом только два луча. Так думают, потому что лучи заметнее области между ними на рисунке. Проверь себя: мысленно выдели часть плоскости между сторонами и помни, что она тоже входит в угол.

Вторая ошибка — назвать вершиной точку, расположенную где-то на стороне. Обычно это происходит, если смотреть на обозначения точек, не проверяя, где начинается каждый луч. Найди общую точку начал обеих сторон: именно она будет вершиной.

Третья ошибка — считать длинные стороны признаком большего угла. Длинные линии занимают больше места на листе, поэтому их легко принять за более раскрытый угол. Проверь направления сторон: если они те же, то удлинение лучей не изменило угол.

Четвёртая ошибка — при пересечении прямых увидеть только один угол. Внимание может остановиться на одной области между линиями. Чтобы проверить себя, проследи прямые в обе стороны от точки пересечения и пересчитай области вокруг неё: их четыре.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в углах, нужно уметь различать точку, прямую, луч и отрезок. Особенно важно помнить, что луч имеет начало и продолжается в одном направлении, а отрезок ограничен двумя концами. Эти знания помогают правильно находить стороны угла и их общую точку.

Понятие угла понадобится, когда будут изучаться виды углов и способы их измерения. Оно также поможет понимать, как устроены треугольники и другие многоугольники: у таких фигур есть углы, образованные их сторонами. Поэтому умение находить вершину и стороны становится основой для дальнейших геометрических тем.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общее начало лучей — вершина угла.
• Лучи, образующие угол, называются его сторонами.
• Угол включает стороны и область между ними.
• При пересечении прямых возникают углы.
• Длина сторон не определяет величину угла.