11.4. Элементы плоского угла

Определения и обозначения

Плоский угол — часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общей начальной точкой. Представь, что из одной точки проведены два луча: часть плоскости между ними вместе с лучами образует угол. Это понятие нужно, чтобы описывать не только линии, но и область, которую они ограничивают.

Вершина угла — общая начальная точка двух лучей, образующих угол. Если лучи начинаются в точке O, то O — вершина. Она помогает точно назвать угол и понять, из какой точки выходят его стороны.

Стороны угла — два луча, ограничивающие угол и имеющие общую вершину. В угле AOB это лучи OA и OB. Их называют сторонами, чтобы отличать ограничивающие лучи от области, расположенной между ними.

Угол обозначают одной заглавной буквой при одной вершине или тремя буквами, причём буква вершины стоит посередине. Например, ∠AOB имеет вершину O. Такое правило помогает понять по записи, какие лучи образуют угол, и не перепутать его с другим углом на чертеже.

Как это устроено

Чтобы построить плоский угол, отметь точку O и проведи из неё два луча, например OA и OB. Точка O должна быть началом обоих лучей, иначе они не имеют общей вершины и не образуют такой угол. Лучи могут быть направлены по-разному: именно их взаимное положение задаёт угол. После этого можно рассматривать часть плоскости между ними.

Общая начальная точка называется вершиной, потому что в ней сходятся оба луча. У каждого луча есть начало и продолжение только в одну сторону, поэтому вершина одна, а не две. Лучи, ограничивающие угол, называют сторонами: они задают его границу. Это различие помогает не принять за вершину любой конец линии на рисунке.

Два луча делят плоскость на области, и для угла рассматривают область между его сторонами. Если мысленно провести линию от одной стороны к другой внутри этой области, она не должна выходить за пределы угла. Область по другую сторону от сторон не относится к выбранному углу. Поэтому при чтении чертежа важно смотреть не только на лучи, но и на то, какая область отмечена или названа.

В названии из трёх букв средняя буква указывает вершину, потому что именно в этой точке начинаются обе стороны. Крайние буквы обозначают точки на сторонах: в ∠AOB лучи идут от O к A и от O к B. Если поставить O с краю, запись уже не покажет общую начальную точку нужным способом. Переставить крайние буквы можно, если речь по-прежнему об этом же угле.

Если из одной вершины проведено несколько лучей, вокруг неё получается несколько углов. Чтобы выбрать нужный, сначала найди его стороны по обозначению, затем определи область между ними. Луч, который проходит внутри этой области, не становится стороной только потому, что начинается в той же вершине. Сторонами данного угла остаются именно два луча, указанные в его названии.

Элементы плоского угла

Пользуйся таблицей, когда нужно описать угол на чертеже: сначала найди вершину, затем обе стороны. После этого определи внутреннюю область и проверь, не перепутан ли с одной из сторон дополнительный луч. В названии из трёх букв средняя буква всегда должна совпадать с вершиной.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены лучи OA и OB. Назовите вершину и стороны угла AOB. Нужно прочитать обозначение и соотнести его с лучами. Средняя буква показывает общую точку, а крайние — направления сторон.

1. Находим буквы в названии ∠AOB: между A и B стоит O.
2. Проверяем, что оба луча начинаются в O; значит, эта точка является общей начальной точкой.
3. Называем лучи, которые ограничивают угол: OA и OB.

Ответ: вершина — O, стороны — лучи OA и OB. Слово «стороны» здесь относится к лучам, а не к отрезкам OA и OB. Даже если на чертеже лучи показаны короткими линиями, мысленно они продолжаются дальше в одном направлении.

Задача 2. Запишите всеми возможными способами название угла с вершиной O, образованного лучами OA и OB. Сначала составим обозначение из трёх букв: вершина должна находиться посередине. Затем проверим, можно ли использовать одну букву без риска перепутать этот угол с другим.

1. Записываем крайние буквы A и B, а между ними ставим вершину O: ∠AOB.
2. Можно поменять крайние буквы местами, потому что стороны остаются теми же: ∠BOA.
3. Если возле O изображён только этот угол и двусмысленности нет, записываем ∠O.

Ответ: ∠AOB и ∠BOA; при однозначном обозначении также ∠O. Если из O выходят дополнительные лучи и образуют другие углы, одной буквы недостаточно. Тогда выбирают такое название из трёх букв, которое точно указывает на нужные стороны.

Задача 3. Из точки O проведены лучи OA, OB и OC. Определите, какие из углов AOB, BOC и AOC содержат луч OB внутри своей области. Без сведений о расположении лучей нельзя определить это только по буквам: важно, между какими сторонами проходит OB. Сначала сравним его положение со сторонами каждого угла.

1. В углах AOB и BOC луч OB является одной из сторон, поэтому он не лежит внутри их области как отдельный внутренний луч.
2. Проверяем угол AOC: если луч OB проходит между OA и OC, он находится внутри угла AOC.
3. Если расположение лучей другое, снова используем правило: луч должен проходить между сторонами и не совпадать с ними.

Ответ: OB — сторона углов AOB и BOC; внутри угла AOC он находится, если проходит между OA и OC. Для окончательного ответа о AOC нужно знать расположение лучей на чертеже. Эта проверка показывает разницу между стороной угла и лучом, лежащим внутри него.

Типичные ошибки

Иногда вершиной называют любой конец стороны. Так происходит, потому что на рисунке у луча виден конец, и его легко принять за начало. Но вершина угла — только общая начальная точка обоих лучей. Проверь себя: из вершины должны выходить обе стороны.

Стороны угла могут изображать короткими отрезками, и тогда кажется, что они заканчиваются у нарисованных точек. На самом деле стороны — лучи, продолжающиеся бесконечно в одном направлении. Проверь, есть ли у линии общее начало с другой стороной и куда она направлена. Не называй сторону отрезком, если речь идёт об угле.

При записи трёх букв иногда ставят вершину в начало или конец названия. Ошибка возникает, если воспринимать буквы просто как перечень точек. Средняя буква всегда указывает общую начальную точку, поэтому в ∠AOB вершина O. Перед ответом найди эту букву и проверь, что два крайних обозначения относятся к сторонам.

Ещё одна ошибка — считать углом только область между лучами или только линии, которые её ограничивают. Угол включает и стороны, и часть плоскости между ними. Путаница возникает потому, что на чертеже область часто не закрашивают. Проверь себя: назови отдельно две стороны, вершину и область между сторонами — это разные элементы одного угла.

Связь с другими темами

Для работы с углами нужно знать, что такое точка, прямая, луч и отрезок, и уметь читать обозначения геометрических фигур. Особенно важно отличать луч от отрезка: сторона угла продолжается в одном направлении. Эти знания помогают точно понимать условие задачи и чертёж.

Вершина и стороны понадобятся при изучении видов углов и измерении углов транспортиром. Они также помогают описывать треугольники и другие многоугольники, где углы находятся между сторонами. Если правильно находить эти элементы, проще читать чертежи и сравнивать фигуры.

Понятия темы пригодятся, когда нужно описать взаимное положение лучей и отрезков. По чертежу можно установить, какой луч лежит внутри угла, какие лучи являются его сторонами и где расположена вершина. Это полезно не только в геометрических задачах, но и при чтении схем и планов.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общей начальной точкой.
• Общая начальная точка лучей называется вершиной угла.
• Лучами, образующими угол, называют его сторонами.
• В обозначении угла тремя буквами буква вершины всегда стоит посередине.
• Внутренняя область угла находится между его сторонами.
• Один и тот же угол можно обозначить по-разному, если обозначение остаётся однозначным.