§ 12. Сравнение углов

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной, а лучи — сторонами угла. Величина угла зависит от того, насколько стороны раскрыты, а не от длины лучей. Это помогает сравнивать углы на разных чертежах, даже если их стороны нарисованы неодинаково.

Равные углы — углы, которые при наложении можно совместить так, чтобы совпали их вершины и стороны. Представь, что один угол аккуратно положили поверх другого. Если стороны совпали, ни один угол не раскрыт шире другого. Это определение позволяет установить равенство, не измеряя углы.

Больший и меньший углы определяют при наложении с общей вершиной и одной совпавшей стороной: больший угол содержит меньший внутри. Оставшаяся сторона меньшего угла оказывается между сторонами большего. Такой способ показывает, какой угол раскрыт шире. Он нужен, когда требуется сравнить углы, а числовая мера неизвестна.

Совмещение углов — способ сравнения, при котором один угол накладывают на другой и проверяют, совпадают ли углы или один расположен внутри другого. Сначала совмещают вершины и одну сторону, а затем рассматривают оставшиеся стороны. Так можно проверить и равенство, и порядок углов. Чтобы не перепутать результат, нужно сохранять направление раскрытия.

Как это устроено

Сравнение начинают с наложения, потому что углы могут быть нарисованы в разных местах и повернуты по-разному. Совмести их вершины и одну сторону, а затем посмотри, куда направлены другие стороны. Направление раскрытия нужно сохранить: иначе можно совместить не те стороны и сравнить углы неверно. Если рисунки на бумаге, угол можно перенести на лист или прозрачную бумагу.

Когда после совмещения оставшиеся стороны тоже совпали, углы равны. Это происходит потому, что оба угла занимают одно и то же положение относительно общей вершины и стороны. Если же оставшаяся сторона одного угла проходит внутри другого, этот угол меньше. Угол, между сторонами которого оказалась эта сторона, больше, потому что его раскрытие включает раскрытие меньшего угла.

Длина лучей не влияет на величину угла, потому что луч можно продолжать в том же направлении сколько угодно. Его можно и укоротить, не меняя положения относительно второго луча. Раскрытие останется прежним, хотя чертёж будет выглядеть иначе. Поэтому сравнивают направления сторон, а не то, насколько далеко они протянулись на бумаге.

Иногда углы расположены отдельно и их неудобно накладывать прямо на чертеже. Тогда один угол можно перенести на лист или обвести на прозрачной бумаге, чтобы приложить его к другому. Важно точно перенести вершину и обе стороны, иначе форма угла изменится. После переноса сравнение выполняют тем же способом: совмещают вершины и одну сторону.

Сравнение по наложению отвечает на вопрос, какой угол больше, меньше или равен другому. Оно не сообщает, сколько градусов составляет угол, потому что для этого нужно измерение. Например, можно установить, что один угол шире другого, не называя никаких чисел. Числовую меру получают отдельно, например с помощью транспортира.

Как сравнить два угла

Сначала найди в таблице то, что видно после наложения, а затем определи результат сравнения. Запись словами помогает ясно показать, какие именно углы сравниваются. Если при наложении стороны совпали, не называй один угол большим или меньшим: они равны.

Разбор задач

Задача 1. Даны два угла, начерченные отдельно. Определите, равны ли они.

На глаз углы могут казаться одинаковыми, но рисунки могли быть повернуты или нарисованы в разном масштабе. Поэтому нужно сравнить их раскрытие, а не положение на странице. Для этого перенесём один угол и наложим его на другой. Затем проверим, совпали ли все его части.

1. Перенесём первый угол на прозрачную бумагу или аккуратно перерисуем его на отдельный лист.
2. Совместим вершину перенесённого угла с вершиной второго. Одну сторону перенесённого угла положим на соответствующую сторону второго, сохраняя направление раскрытия.
3. Посмотрим на оставшиеся стороны. Если они совпали, углы равны; если одна сторона не совпала, углы не равны.

Мы не сравнивали длины нарисованных сторон, потому что они не определяют раскрытие. Перенос нужен только для того, чтобы привести углы к одному положению. При точном наложении совпадение обеих сторон означает одинаковую величину. Ответ: углы равны, если после наложения совпали их вершины и стороны; иначе они не равны.

Задача 2. Сравните два угла с общей вершиной и одной общей стороной, если второй луч первого угла расположен внутри второго угла.

Здесь часть работы уже выполнена: вершина и одна сторона общие, поэтому накладывать углы дополнительно не требуется. Нужно определить, какой угол образуют стороны, ограничивающие меньшее раскрытие. Второй луч первого угла лежит между сторонами второго угла. Значит, первый угол целиком находится внутри второго.

1. Найдём общую вершину и совпадающую сторону — они задают одинаковое начало сравнения.
2. Посмотрим, где расположен второй луч первого угла: по условию он проходит внутри второго угла.
3. Сделаем вывод по правилу наложения: угол, расположенный внутри другого, меньше того, который его содержит.

Общий луч помогает сравнить раскрытия напрямую, потому что одна сторона у углов уже совпала. Второй луч показывает, где заканчивается каждый угол. Так как второй луч первого угла находится внутри второго, стороны первого угла охватывают меньшее раскрытие. Ответ: первый угол меньше второго, а второй угол больше первого.

Задача 3. На рисунке даны три угла разной формы и с лучами разной длины. Расположите их по возрастанию величины.

Сначала не будем выбирать самый большой угол по длине его сторон или по общему размеру рисунка. Эти признаки обманчивы: лучи могут быть удлинены, а чертёж — увеличен или уменьшен. Сравним только раскрытия углов. Для этого будем переносить углы и сопоставлять их попарно.

1. Перенесём первый угол и наложим его на второй, совместив вершины и по одной стороне. Отметим, какой угол оказался внутри другого или совпал с ним.
2. Повторим сравнение для второго и третьего углов, а затем при необходимости проверим вывод, сравнив первый и третий.
3. Запишем углы в последовательности от меньшего к большему. Если два угла совпали при наложении, поставим их рядом как равные.

Попарная проверка нужна, чтобы не делать вывод по одному случайному сравнению. Результат каждого наложения показывает, какая пара идёт в нужном порядке. По условию нельзя назвать конкретную последовательность без самого изображения, поэтому порядок устанавливают по этим проверкам. Ответ: расположите углы от меньшего к большему по результатам наложения; длину лучей и размер рисунка не учитывайте.

Типичные ошибки

• Считать угол с более длинными сторонами большим. Такую ошибку допускают, потому что длинные линии заметнее на рисунке и кажутся признаком большего раскрытия. Но стороны угла — лучи, которые можно удлинить без изменения угла. Проверь себя: укороти или мысленно продолжи лучи; если направления не изменились, величина угла та же.

• Совмещать только вершины. Если вершины совпали, но стороны направлены по-разному, углы ещё не приведены к одному положению. Это часто путают с правильным наложением, потому что вершина — заметная общая точка. Проверь себя: одна сторона должна совпасть полностью по направлению, а не только начаться в общей вершине.

• Сравнивать углы по внешнему размеру рисунка. Большой чертёж может изображать маленький угол, а маленький — широкий. Ошибка возникает, если принять масштаб изображения за величину раскрытия. Проверь себя наложением: при точном переносе размер рисунка перестаёт иметь значение.

• Перепутать стороны или направление раскрытия. Тогда при наложении можно сравнить не те углы или неверно решить, какая сторона находится внутри. Такое случается, когда не следят за тем, куда раскрывается угол. Проверь себя: зафиксируй общую вершину и одну сторону, сохрани направление раскрытия и только после этого сравни оставшиеся лучи.

Связь с другими темами

Перед сравнением нужно знать, что угол образован двумя лучами с общим началом. Это начало называют вершиной, а лучи — сторонами угла. Умение находить их помогает правильно совместить углы и не перепутать части фигуры. Без этого наложение может дать неверный результат.

Сравнение углов пригодится, когда начнёшь измерять их транспортиром. Сначала можно понять, какой угол шире, а измерение затем даст его числовую меру. Сравнение также помогает решать геометрические задачи, в которых нужно установить порядок углов. Эти действия отвечают на разные вопросы и дополняют друг друга.

Что запомнить

• Угол сравнивают по величине его раскрытия.
• Для наложения совмещают вершины и одну сторону.
• Совпавшие стороны означают равные углы.
• Угол, расположенный внутри другого, меньше него.
• Длина сторон угла не влияет на его величину.
• Сравнение устанавливает порядок углов, но не даёт их числовых мер.