12.1. Равенство углов

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Например, в угле ABC вершина — B, а стороны — лучи BA и BC. Это обозначение помогает точно понять, о какой фигуре идёт речь.

Равные углы — это углы, которые при наложении полностью совпадают. Их вершины должны попасть в одну точку, а каждая сторона одного угла — на соответствующую сторону другого. Равенство показывает, что углы имеют одну и ту же величину, даже если они нарисованы не одинаково.

Наложение углов — мысленное или практическое совмещение одного угла с другим для сравнения их формы и величины. Один угол как будто перемещают, не изменяя его раскрытия. Такой способ позволяет установить равенство без измерений.

Как это устроено

При сравнении углов сначала совмещают их вершины, потому что обе стороны каждого угла выходят из одной точки. Затем совмещают одну пару соответствующих сторон. После этого остаётся проверить, попала ли вторая сторона первого угла на вторую сторону второго; если да, фигуры совпали полностью.

Угол не становится больше или меньше от того, что его лучи нарисованы длиннее. Лучи можно продолжать сколько угодно, а раскрытие между ними останется прежним. Поэтому при сравнении смотрят на положение сторон относительно вершины, а не на расстояние, на которое они проведены.

При наложении нужно правильно определить соответствующие вершины и стороны. Вершины должны совпасть, а выбранная сторона первого угла должна лечь именно на выбранную сторону второго, а не на часть другого объекта. Удобно мысленно назвать стороны каждой фигуры и проследить, какая сторона после совмещения остаётся второй.

Углы могут быть равными, даже если один направлен вверх, а другой — вбок или вниз. Поворот всей фигуры не меняет расстояние между её сторонами. Равенство записывают, например, так: ∠ABC = ∠KLM; средние буквы B и L обозначают вершины, а порядок букв показывает соответствие сторон.

Как сравнивать углы и устанавливать их равенство

Пользуйтесь таблицей как последовательностью проверки. Сначала найдите вершины, затем совместите одну пару сторон и только после этого сравните оставшиеся стороны. Итогом будет либо полное совпадение, либо вывод, что углы не равны.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке даны два угла. Определите наложением, равны ли они. Чертёж может быть повернут, поэтому сначала нужно выбрать вершины и пары соответствующих сторон.

1. Мысленно переместите первый угол к второму.
2. Совместите вершины углов и одну сторону первого угла с выбранной стороной второго.
3. Посмотрите на вторые стороны: если они легли друг на друга по всей длине лучей, углы равны.

Ответ: углы равны только при совпадении обеих сторон после совмещения. Если вторые стороны расходятся, углы не равны.

Задача 2. Угол ABC наложили на угол KLM так, что вершины совпали, а сторона BA легла на сторону LK. Определите, какая сторона должна совпасть со стороной BC, чтобы углы были равны. Здесь уже задано соответствие одной стороны и вершин.

1. В угле ABC вершина — B, а его стороны — BA и BC.
2. В угле KLM вершина — L, а его стороны — LK и LM.
3. Так как BA совпала с LK, оставшаяся сторона BC должна совпасть с LM.

Ответ: сторона BC должна лечь на сторону LM, то есть ∠ABC = ∠KLM.

Задача 3. На рисунке изображены углы разного размера, повёрнутые в разные стороны. Установите, какие из них равны, и запишите равенство. Нельзя судить по направлению лучей или по длине их изображений.

1. Для каждой пары совместите вершины.
2. Поверните один угол так, чтобы одна его сторона совпала с соответствующей стороной другого.
3. Сравните раскрытие: совпадение второй стороны означает равенство.
4. Запишите только найденную пару, соблюдая соответствие вершин и сторон, например ∠ABC = ∠KLM.

Ответ: равными будут те углы, у которых после наложения совпадают обе стороны. Поворот и разные размеры изображений не мешают равенству.

Типичные ошибки

Некоторые считают углы разными из-за разной длины сторон на рисунке. Так происходит потому, что длинный луч кажется «большим»; проверьте себя, сравнив раскрытие около вершины, а не длину лучей.

Другая ошибка — совместить вершины, но не совместить соответствующие стороны. В таком случае углы могут оказаться повернутыми друг относительно друга; сначала положите одну сторону на другую, затем смотрите на вторые.

Нельзя путать направление изображения с величиной угла. Угол, направленный вверх, и такой же угол, направленный вбок, могут быть равны; мысленно поверните один из них.

Ошибки возникают и в записи равенства, когда буквы переставляют случайно. Средняя буква должна обозначать вершину, а крайние буквы — соответствующие стороны; проверьте порядок букв по своему наложению.

Связь с другими темами

До изучения равенства углов нужно знать, что такое луч, вершина и стороны угла, а также уметь обозначать угол буквами. Наложение связывает эту тему со сравнением равных отрезков и других фигур. Позже равные углы понадобятся при измерении углов, геометрических построениях и изучении свойств фигур.

Что запомнить

• Равные углы полностью совпадают при наложении.
• При сравнении углов сначала совмещают вершины.
• Затем совмещают одну пару соответствующих сторон.
• Если совпадают и вторые стороны, углы равны.
• Длина сторон угла не определяет его величину.
• Поворот угла не меняет его величину.