12.2. Сравнение неравных углов

Определения и обозначения

Сравнение углов — установление, какой из двух углов больше, меньше или равен другому. Для этого углы совмещают и смотрят, насколько широко раскрыты их стороны. Сравнение помогает выбрать нужный угол и упорядочить несколько углов. Сравнивать можно углы, нарисованные в разных местах.

Равные углы — углы, которые при совмещении совпадают. Совместить их — значит наложить один на другой так, чтобы совпали вершины и стороны. Это определение нужно, чтобы отличать одинаковую величину углов от похожего вида на рисунке. Равенство записывают знаком =, например ∠1 = ∠2.

Меньший угол — угол, который полностью помещается внутри другого при совмещении вершин и одной стороны. Его вторая сторона оказывается между сторонами большего угла. Такое положение показывает, что раскрытие меньшего угла уже. Если ∠1 помещается в ∠2, записывают ∠1 < ∠2.

Больший угол — угол, внутри которого при таком совмещении располагается меньший угол. Его стороны охватывают более широкую область, чем стороны меньшего. Это понятие позволяет назвать результат сравнения, а не только описать расположение сторон. Запись ∠1 > ∠2 означает, что угол 1 больше угла 2.

Как это устроено

Чтобы сравнить углы, нужно совместить их вершины и одну сторону. Вершина важна потому, что именно в ней встречаются стороны угла; если вершины не совпадают, положение сторон может ввести в заблуждение. Совпадение одной стороны задаёт общее начало сравнения: оба угла раскрываются от одного направления. Тогда можно честно увидеть, какой из них шире.

После совмещения посмотри на вторые стороны. Если вторая сторона одного угла проходит между сторонами другого, значит, первый угол раскрыт меньше и лежит внутри второго. Если внутри первого оказался второй, то первый угол больше. Сравнивают именно область между сторонами, а не длину лучей: стороны можно продолжить, не меняя величину угла.

Если вторые стороны тоже совпали, то обе пары сторон имеют одно и то же направление от общей вершины. Значит, раскрытие углов одинаково, и углы полностью совпали. Это не зависит от того, насколько длинные линии нарисованы: одна сторона может быть короткой, а другая длинной. Величина задаётся направлением сторон, а не длиной их отрезков.

Иногда при наложении один угол не оказывается целиком внутри другого. Тогда проверь, точно ли вершины совпали и стороны направлены в одну сторону. Если всё сделано правильно, поменяй углы местами: меньший может целиком поместиться в большем при обратном наложении. Для нескольких углов сравнивай их попарно, пока не установишь порядок; если данных рисунка недостаточно, точный вывод сделать нельзя.

Результат записывают знаками равенства, больше или меньше. Знак < раскрывается словами «меньше», а знак > — словами «больше»: ∠1 < ∠2 означает, что первый угол меньше второго. Полезно прочитать запись вслух слева направо, подставив слова «меньше» или «больше». Если углы равны, между обозначениями ставят знак =.

Сравнение углов способом совмещения

Сначала проверь совпадение вершины и одной стороны, затем найди положение второй стороны. Если стороны совпали, выбирай строку о равных углах; если одна сторона попала внутрь другого угла — строку о меньшем угле. Запись в последнем столбце показывает результат именно для указанного порядка углов.

Разбор задач

Сравнение углов наложением

Условие. На рисунке изображены два угла. Нужно совместить их вершины и по одной стороне, затем определить, какой угол больше. Самого рисунка в условии нет, поэтому нельзя назвать конкретный угол большим. Можно точно описать порядок сравнения и правило для вывода.

1. Выбери один угол и наложи его на другой так, чтобы вершины совпали. Следи, чтобы общая сторона была направлена одинаково.
2. Посмотри на оставшиеся стороны. Если они совпали, углы равны; если сторона первого угла оказалась внутри второго, первый меньше.
3. Если внутри первого угла оказалась сторона второго, значит, второй угол меньше первого. Прочитай результат ещё раз, чтобы не перепутать порядок обозначений.

Ответ. Большим является угол, внутри которого при совмещении лежит сторона другого угла; если вторые стороны совпали, углы равны. Без самого рисунка выбрать конкретный угол нельзя.

Углы ABC и KLM

Условие. При совмещении вершина B совпадает с вершиной L, а сторона BA — со стороной LK. Сторона LM оказалась внутри угла ABC. Нужно сравнить ∠ABC и ∠KLM. Положение стороны LM показывает, что угол KLM целиком расположен внутри угла ABC.

1. Проверь, какие элементы совмещены: вершина B с L и сторона BA с LK. Значит, сравнение выполнено от общей вершины и общего направления.
2. Найди вторую сторону угла KLM: это LM. По условию она лежит внутри угла ABC, поэтому раскрытие ∠KLM меньше раскрытия ∠ABC.
3. Поставь знак так, чтобы меньший угол стоял слева, если записываешь его первым. Здесь первым дан ∠ABC, поэтому он больше ∠KLM.

Ответ. ∠ABC > ∠KLM.

Три угла на рисунке

Условие. Нужно сравнить три угла и расположить их по возрастанию. Поскольку сам рисунок и названия углов не приведены, определить готовую цепочку невозможно. Зато можно выполнить сравнение по шагам, не полагаясь на вид углов на странице.

1. Обозначь углы, например, ∠1, ∠2 и ∠3, и сравни ∠1 с ∠2 способом наложения. Запиши, какой из них меньше.
2. Сравни меньший из этой пары с ∠3. Так станет ясно, какой угол самый маленький или нужно проверить оставшуюся пару.
3. Проверь порядок попарным сравнением соседних углов. Запиши их от меньшего к большему, поставив между обозначениями знаки <.

Ответ. Цепочку неравенств составляют по результатам наложения, например ∠1 < ∠2 < ∠3, если именно такой порядок показало сравнение. Без рисунка выбрать верную цепочку нельзя.

Типичные ошибки

Ошибка — сравнивать длины сторон углов. Длинные стороны могут быть нарисованы у узкого угла, а короткие — у широкого, потому что длина лучей не определяет раскрытие. Так ошибаются, когда оценивают весь рисунок, а не угол между сторонами. Для проверки совмести вершины и стороны: сравнивай положение второй стороны.

Если при наложении вершины не совпали, положение сторон не даёт надёжного результата. Это часто происходит, когда угол двигают на глаз и не удерживают его вершину на одном месте. Проверь, что вершины точно лежат друг на друге, и только потом смотри на стороны. Одновременно убедись, что одна сторона тоже совпала.

Вывод только по картинке может оказаться неверным, потому что изображения не всегда выполнены в точном масштабе. На глаз один угол кажется шире из-за длины линий или особенностей рисунка. Чтобы проверить себя, наложи углы или воспользуйся точным способом измерения, если он уже изучен. Не делай вывод о величине лишь по внешнему виду.

Знаки < и > легко перепутать, особенно если поменять углы местами. Ошибка заметна, если прочитать запись неверно: ∠1 < ∠2 означает, что первый угол меньше второго. Проверяй, совпадает ли знак с результатом наложения, и называй углы в том же порядке, в каком они записаны. Для равных углов используй знак =.

Связь с другими темами

Для сравнения нужно знать, что угол состоит из вершины и двух сторон, а обозначение тремя буквами помогает его назвать: средняя буква указывает вершину. Также пригодятся знаки =, > и <, чтобы правильно записать результат. Дальше сравнение поможет при измерении углов и изучении их видов, например острых и тупых. Оно пригодится и при сравнении геометрических фигур, когда нужно исследовать их углы.

Что запомнить

• Сравнить углы — значит установить, какой из них больше, меньше или равен другому.
• Для сравнения совмещают вершины и по одной стороне углов.
• Если углы полностью совпали, они равны.
• Если сторона одного угла лежит внутри другого, первый угол меньше второго.
• Величина угла не зависит от длины его сторон.
• Результат сравнения записывают знаками =, < или >.