"Математика", Чекин А.Л.
Уравнение — это равенство, в котором есть неизвестное число. Решить его — значит найти все значения неизвестного, при которых равенство верно, или доказать, что таких значений нет. Для этого определяют, какой компонент действия неизвестен, и находят его по правилу обратного действия. Решение обязательно проверяют подстановкой: она помогает убедиться, что найденное число подходит, и заметить ошибку в вычислениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — это равенство, в котором есть неизвестное число, обычно обозначенное буквой, например x. В числовом равенстве обе части состоят из известных чисел, поэтому его истинность можно проверить сразу. В уравнении же равенство может быть верным при одних значениях буквы и неверным при других. Уравнения нужны, чтобы находить неизвестные числа в вычислениях и задачах.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством. Например, в уравнении x + 5 = 12 числу 7 соответствует верное равенство 7 + 5 = 12. Другие значения x дадут неверное равенство. Понятие корня помогает отличить подходящий ответ от числа, которое только получилось в ходе вычислений.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Если неизвестное обозначено x, нужно выяснить, какое значение x делает равными левую и правую части. Иногда корень один, а иногда подходящих значений несколько или нет вовсе. Поэтому ответ должен сообщать не только вычисленное число, но и то, что именно оно решает уравнение.
Проверка уравнения — это подстановка найденного значения вместо неизвестного и проверка равенства. Нужно вычислить обе части отдельно и сравнить результаты. Если они совпали, найденное значение действительно является корнем. Проверка нужна, потому что даже при верном способе решения можно ошибиться в вычислении.
Чтобы понять, является ли заданное число корнем, замени им неизвестное во всём уравнении. Затем соблюдай порядок действий и вычисли отдельно левую и правую части. Если их значения равны, подстановка превратила уравнение в верное равенство. Если они различаются, число не подходит: возможно, оно не является корнем или при вычислении допущена ошибка.
В простом уравнении сначала выясни, какой компонент действия обозначен буквой. Неизвестное слагаемое находят вычитанием известного слагаемого из суммы, потому что сложение можно отменить вычитанием. В вычитании правило зависит от места неизвестного: если неизвестно уменьшаемое, к разности прибавляют вычитаемое; если неизвестно вычитаемое, из уменьшаемого вычитают разность. Положение чисел важно, так как эти две роли не взаимозаменяемы.
При умножении неизвестный множитель находят делением произведения на известный множитель: деление отменяет умножение. В делении сначала определи, какое число неизвестно, потому что делимое и делитель выполняют разные роли. Неизвестное делимое равно произведению делителя и частного, а неизвестный делитель находят делением делимого на частное. Делитель не может быть равен нулю, поэтому при делении нужно учитывать это ограничение.
Обратное действие применяют, чтобы убрать известный компонент и оставить неизвестный отдельно. Например, если к неизвестному прибавили число, вычитание этого числа помогает восстановить исходное значение; если умножили — деление помогает отменить умножение. В составном уравнении сначала выполняют действия, не связанные с неизвестным, чтобы увидеть простое действие с буквой. Затем находят неизвестный компонент по соответствующему правилу и, если нужно, продолжают упрощение.
Проверка подтверждает, что вычисленное значение действительно подходит к исходному уравнению, а не только к промежуточной записи. Подставляя корень, выполняй действия в том же порядке, что и при обычных вычислениях. Совпадение частей показывает, что равенство верно. Если результаты разные, проверь и решение, и вычисления при подстановке: такая проверка помогает найти место ошибки.
| Действие | Что неизвестно | Как найти неизвестное |
|---|---|---|
| Сложение | Неизвестное слагаемое | Из суммы вычесть известное слагаемое |
| Вычитание | Неизвестное уменьшаемое | К разности прибавить вычитаемое |
| Вычитание | Неизвестное вычитаемое | Из уменьшаемого вычесть разность |
| Умножение | Неизвестный множитель | Произведение разделить на известный множитель |
| Деление | Неизвестное делимое | Делитель умножить на частное |
| Деление | Неизвестный делитель | Делимое разделить на частное |
Сначала определи действие и роль неизвестного в нём, а затем выбери соответствующее правило из таблицы. Особенно внимательно различай уменьшаемое и вычитаемое, а также делимое и делитель. После вычисления проверь результат подстановкой в исходное уравнение.
Задача 1. Решить уравнение x + 18 = 47 и выполнить проверку. Неизвестное x здесь является слагаемым, а 47 — суммой. Поэтому, чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. После вычисления подставим найденное число вместо x и проверим равенство.
Ответ: x = 29.
Задача 2. Решить уравнение 6 · x = 54 и проверить найденное значение. Неизвестное x — множитель, а 54 — произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, делим произведение на известный множитель. Затем проверяем, получилось ли при умножении найденного числа на 6 число 54.
Ответ: x = 9.
Задача 3. Решить уравнение 3 · x + 14 = 50 и выполнить проверку. Здесь неизвестное входит в произведение, к которому прибавили 14. Сначала нужно найти, чему равно выражение 3 · x: для этого из 50 вычитаем 14. После этого остаётся простое уравнение на неизвестный множитель.
Ответ: x = 12.
Ошибка — объявить число корнем, не подставив его в исходное уравнение. Вычисления при решении могли содержать неточность, даже если выбранное правило было правильным. Подставь число вместо неизвестного и сравни значения обеих частей. Только совпадение результатов подтверждает, что это корень.
Иногда путают неизвестное уменьшаемое и неизвестное вычитаемое, потому что в обоих случаях действие называется вычитанием. Но если неизвестно уменьшаемое, к разности прибавляют вычитаемое; если вычитаемое — из уменьшаемого вычитают разность. Проверь себя вопросом: какое число стоит до знака минус, а какое после него? После нахождения значения подстановка покажет, верно ли выбрано правило.
В уравнении на деление можно перепутать неизвестное делимое и неизвестный делитель. Ошибка возникает, если смотреть только на знак деления и не учитывать порядок чисел. Запиши действие словами: делимое разделить на делитель — получится частное; затем определи, какое из этих чисел обозначено буквой. Проверь результат умножением или подстановкой в исходное равенство.
В составном уравнении неверно сразу применять правило к действию с неизвестным, не упростив остальную часть выражения. Например, в 3 · x + 14 = 50 сначала нужно определить значение 3 · x, а не искать неизвестный множитель непосредственно по числу 50. Сначала выполни действие, которое отделяет выражение с неизвестным, и запиши промежуточное равенство. Так проще заметить, к какому компоненту относится правило.
Для решения уравнений нужно знать названия компонентов сложения, вычитания, умножения и деления, а также правила их нахождения. Эти знания помогают понять, какую роль играет неизвестное и какое обратное действие выбрать. Если названия компонентов пока путаются, полезно сначала повторить сами арифметические действия.
Уравнения помогают составлять математические модели по текстовым задачам. Неизвестное число обозначают буквой, а условие задачи записывают в виде равенства. Найденный корень показывает значение величины, которую требовалось определить. Затем его можно проверить по смыслу условия.
Умение решать простые уравнения становится основой для более сложных уравнений и преобразования выражений. В дальнейшем неизвестное может встречаться в нескольких действиях, поэтому важно правильно упрощать запись и не терять связь между её частями. Навык проверки останется полезным и в таких задачах.
Чем уравнение отличается от обычного числового равенства?
В числовом равенстве обе части уже содержат известные числа, поэтому можно сразу проверить, верно ли оно. В уравнении есть неизвестное, и истинность равенства зависит от его значения. Например, 5 + 2 = 7 — числовое равенство, а x + 2 = 7 — уравнение.
Что называют корнем уравнения?
Корень уравнения — это значение неизвестного, при котором равенство становится верным. Например, число 4 — корень уравнения x + 3 = 7, потому что 4 + 3 = 7.
Как проверить, подходит ли число в качестве корня?
Подставь это число вместо неизвестного и вычисли обе части уравнения. Если получились одинаковые значения, число подходит; если разные — не является корнем.
Почему при решении уравнения используют обратное действие?
Обратные действия помогают отменить действие, которое связано с неизвестным, и выделить его. Например, чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитают известное слагаемое.
Что делать, если в уравнении сначала нужно упростить выражение?
Сначала выполни действия, которые не содержат неизвестного, и найди значение соответствующей части уравнения. Затем определи неизвестный компонент в оставшемся действии и реши уравнение.
Учимся решать уравнения
