"Математика", Чекин А.Л.
Многоугольник — замкнутая фигура, образованная отрезками; её углы помогают описывать форму и решать геометрические задачи. Для выпуклого многоугольника сумму внутренних углов находят по числу сторон, а сумма внешних углов при обходе в одном направлении всегда равна 360°. Если многоугольник правильный, его углы равны, поэтому можно вычислить каждый из них отдельно. Эти правила связывают геометрию треугольника с изучением более сложных фигур.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многоугольник — это замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает; число его сторон равно числу вершин. Например, у пятиугольника пять сторон и пять вершин. Многоугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми, а формулы этого параграфа относятся прежде всего к выпуклым фигурам. Это различие нужно учитывать, прежде чем начинать вычисления.
Внутренний угол многоугольника образован двумя сторонами с общей вершиной и лежит внутри фигуры. Его величина показывает, насколько раскрыты стороны при данной вершине. У каждого многоугольника внутренних углов столько же, сколько вершин. Именно их сумму находят, когда нужно определить общую величину поворотов и наклонов сторон внутри фигуры.
Внешний угол многоугольника — угол, смежный с внутренним углом при той же вершине. Смежные углы образуют развёрнутый угол, поэтому их сумма равна 180°. При обходе многоугольника внешний угол выбирают с учётом направления движения: если поменять направление, соответствующий угол тоже изменится. Это определение помогает правильно находить сумму внешних углов.
Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого равны все стороны и все внутренние углы. Например, квадрат является правильным четырёхугольником, а прямоугольник с неодинаковыми сторонами — нет. В правильной фигуре все внутренние углы одинаковы, поэтому их сумму можно разделить на число вершин. Такое свойство позволяет находить величину каждого угла отдельно.
Чтобы изучить сумму углов выпуклого многоугольника, из одной его вершины проводят диагонали ко всем вершинам, которые не являются соседними. Получившиеся части — треугольники: границы каждой части состоят из двух проведённых или исходных отрезков и одной стороны многоугольника. Если вершин n, то треугольников получается n − 2. Две вершины не подходят для проведения диагоналей: это выбранная вершина и две соседние с ней.
У каждого треугольника сумма углов равна 180°. После разбиения многоугольника внутренние углы всех получившихся треугольников вместе составляют внутренние углы исходной фигуры: диагонали лишь добавляют внутренние углы внутри неё. Поэтому нужно сложить по 180° для каждого из n − 2 треугольников. Так получается формула суммы внутренних углов выпуклого n-угольника: 180°(n − 2).
При обходе выпуклого многоугольника направление движения меняется в каждой вершине на величину внешнего угла. Когда обход завершён, мы снова смотрим в исходном направлении. Значит, суммарный поворот составляет один полный оборот — 360°. Число сторон влияет на количество поворотов, но не на их общую величину, поэтому сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине в одном направлении, всегда равна 360°.
В правильном n-угольнике внутренние углы равны между собой. Их общая величина уже известна: 180°(n − 2), а одинаковых углов n. Поэтому величину одного внутреннего угла находят делением суммы на число вершин: 180°(n − 2) / n. Например, такой способ работает для правильного десятиугольника, но не для фигуры, у которой углы могут быть разными.
Внутренний угол и смежный с ним внешний образуют развёрнутый угол. Развёрнутый угол равен 180°, поэтому внутренний угол можно найти, вычитая внешний из 180°, и наоборот. У правильного многоугольника каждый внешний угол равен 360° / n, поскольку внешних углов n и их сумма равна 360°. Эти формулы согласуются: один внутренний угол правильного многоугольника равен 180° минус один внешний.
| Что рассматриваем | Сумма или величина | Условия |
|---|---|---|
| Сумма внутренних углов | 180°(n − 2) | Выпуклый n-угольник |
| Сумма внешних углов | 360° | Выпуклый многоугольник; по одному углу при вершине, обход в одном направлении |
| Один внутренний угол правильного многоугольника | 180°(n − 2) / n | Правильный n-угольник |
| Один внешний угол правильного многоугольника | 360° / n | Правильный n-угольник |
| Связь внутреннего и внешнего углов при вершине | 180° | Углы смежные |
Сначала проверьте, какой многоугольник дан и что требуется найти: сумму или один угол. Затем выберите формулу, условия которой подходят к задаче, и подставьте число сторон. Если ищете один внутренний угол, убедитесь, что многоугольник правильный.
Задача 1. Найдите сумму внутренних углов выпуклого семиугольника. Семь сторон означают, что в формуле нужно взять n = 7. Чтобы не перепутать число сторон с числом треугольников, сначала вычислим n − 2. Затем умножим полученное число на 180°.
Ответ: 900°. Проверить результат можно через разбиение: из одной вершины семиугольника получаются пять треугольников, а сумма углов каждого равна 180°.
Задача 2. Найдите один внутренний угол правильного десятиугольника. Сначала нужно узнать сумму всех его внутренних углов, потому что затем мы разделим её на число равных углов. Десятиугольник правильный, поэтому все десять углов действительно имеют одну величину. В произвольном десятиугольнике такой вывод делать было бы нельзя.
Ответ: 144°. Можно дополнительно проверить результат через внешний угол: 180° − 144° = 36°, а десять таких углов дают 360°.
Задача 3. В правильном многоугольнике внешний угол равен 24°. Найдите число его сторон и величину внутреннего угла. Все внешние углы правильной фигуры равны, а их сумма составляет 360°, поэтому число углов найдём делением общей суммы на один угол. После этого используем смежность внутреннего и внешнего углов при вершине.
Ответ: 15 сторон; внутренний угол равен 156°. Проверка подтверждает, что найденные углы согласуются со свойствами правильного многоугольника.
Ошибка: использовать формулу 180°n вместо 180°(n − 2). Так происходит, если забыть, что при разбиении выпуклого многоугольника из одной вершины получается n − 2 треугольника, а не n. Перед вычислением можно выписать число треугольников отдельно, а затем умножить его на 180°. Проверка на четырёхугольнике тоже помогает: сумма его внутренних углов должна быть 360°.
Ошибка: применять формулу суммы внутренних углов к невыпуклому многоугольнику, не проверив условие. Вывод формулы опирается на разбиение выпуклой фигуры диагоналями из одной вершины, поэтому нельзя автоматически переносить его на любую форму. Сначала определите, выпуклый ли многоугольник, или следуйте способу, указанному в задаче. Если условие о выпуклости не выполнено, формулу нужно обосновать отдельно.
Ошибка: разделить сумму внутренних углов на число сторон и считать результат одним из углов любого многоугольника. При делении получается среднее значение углов, а отдельные углы могут отличаться. Делить сумму, чтобы найти величину каждого угла, можно у правильного многоугольника, где все углы равны. Проверьте условие: если правильность фигуры не указана, одного значения для всех углов получить нельзя.
Ошибка: складывать внешние углы, выбранные в разных направлениях, или брать при вершине угол, который не смежен с внутренним. Тогда повороты обхода не будут согласованы, и сумма может не дать 360°. В каждой вершине выберите внешний угол, смежный с внутренним, и придерживайтесь одного направления обхода. Проверка: смежные углы должны в сумме составлять 180°.
Для вывода формулы суммы внутренних углов нужно знать, что сумма углов треугольника равна 180°. Именно поэтому число треугольников после разбиения умножают на 180°. Также понадобится понятие смежных углов: оно объясняет связь внутреннего и внешнего углов при одной вершине. Без этих знаний формулы сложнее не только запомнить, но и проверить.
Формулы применяются в задачах о правильных многоугольниках, когда по числу сторон ищут углы или, наоборот, по внешнему углу определяют число сторон. Они помогают связывать отдельные свойства фигуры с её общей формой. Дальше такие рассуждения пригодятся при изучении других геометрических фигур и решении задач на их углы.
Почему при разбиении многоугольника на треугольники получается именно n − 2 треугольника?
Из одной вершины выпуклого многоугольника проводят диагонали ко всем вершинам, кроме самой этой вершины и двух соседних. Диагонали разделяют фигуру на части, каждая из которых — треугольник; таких частей получается на две меньше, чем вершин.
Можно ли формулу суммы внутренних углов применять к любому многоугольнику?
Формула 180°(n − 2) верна для выпуклого многоугольника. Для невыпуклой фигуры её нельзя применять автоматически: нужно учитывать устройство фигуры и проверять условия задачи.
Почему сумма внешних углов не зависит от числа сторон?
При обходе многоугольника каждый внешний угол соответствует повороту в одной вершине. Чтобы вернуться к исходному направлению, нужно повернуть на полный оборот, то есть на 360°, независимо от количества поворотов.
Как найти число сторон правильного многоугольника, если известен его внешний угол?
Сумма внешних углов правильного многоугольника равна 360°, а все эти углы равны. Поэтому число сторон находят делением 360° на величину одного внешнего угла.
Всегда ли можно найти один внутренний угол, разделив сумму углов на число сторон?
Так можно поступить у правильного многоугольника, потому что все его внутренние углы равны. У произвольного многоугольника углы могут быть разными, поэтому деление даст только их среднее значение.
Углы многоугольника
