"Математика", Чекин А.Л.
Числовое выражение объединяет числа и знаки действий, а его значение зависит от правильной последовательности вычислений. Главные правила таковы: сначала выполняют действия в скобках, затем умножение, а потом сложение. Если действия имеют одинаковый приоритет, их выполняют слева направо. Эти правила помогают не ошибаться при вычислении выражений, решении задач и использовании формул.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — это запись, составленная из чисел и знаков действий, значение которой можно вычислить. Например, 8 + 2 · 3 — числовое выражение. Это понятие нужно, чтобы отличать саму запись от её результата и правильно планировать вычисления.
Скобки — знаки, которые показывают, какие действия нужно выполнить прежде остальных. В записи (8 + 2) · 3 сначала находят сумму 8 и 2. Скобки нужны, чтобы явно изменить или уточнить обычный порядок действий.
Порядок выполнения действий — правила, определяющие последовательность вычислений в выражении. Они помогают получить единственный правильный результат, даже если в записи несколько действий. Без этих правил одна и та же запись могла бы пониматься по-разному.
Числовое выражение задаёт последовательность действий, потому что каждый знак соединяет числа или уже найденные результаты. Если выполнить действия в другой последовательности, можно получить другое число. Поэтому перед вычислением нужно не сразу считать, а сначала определить, какое действие имеет приоритет.
Когда в выражении есть скобки, начинают с действий внутри них. Скобки как бы выделяют отдельную часть выражения, результат которой затем используют дальше. Если внутри скобок несколько действий, порядок определяют снова: сначала внутренние скобки, затем умножение, потом сложение.
Умножение выполняют раньше сложения, потому что оно имеет более высокий приоритет и образует более тесно связанную часть выражения. В записи 5 + 2 · 6 сначала находят произведение 2 · 6, а затем прибавляют его к 5. Знак умножения может стоять правее, но положение знака слева или справа не отменяет правила приоритета.
Если есть только сложение и умножение без скобок, сначала выполняют все умножения, а затем сложения. Например, в выражении 4 + 2 · 3 + 5 · 2 сначала находят оба произведения. После этого складывают получившиеся числа и слагаемое 4 слева направо.
Вычисления удобно записывать по шагам, заменяя выполненное действие его результатом. При этом остальные числа и знаки оставляют на своих местах, поэтому значение всей записи не меняется. Такой способ помогает видеть, какое правило применено, и вовремя заметить ошибку.
Таблица помогает быстро выбрать первое действие. Сначала найдите скобки, затем сравните оставшиеся действия по приоритету. Действия одинакового уровня выполняйте слева направо.
| Ситуация | Что выполнять первым | Что выполнять следующим |
|---|---|---|
| В выражении есть скобки | Действия внутри скобок | Действия вне скобок по общим правилам |
| Есть умножение и сложение, скобок нет | Умножение | Сложение |
| Несколько действий сложения | Слева направо | Продолжать слева направо |
| Несколько действий умножения | Слева направо | Продолжать слева направо |
В выражении нет скобок, но есть сложение и умножение. Умножение имеет больший приоритет, поэтому начинать со сложения нельзя. После нахождения произведения останется простое сложение.
Ответ: 19.
Скобки изменили порядок вычислений по сравнению с предыдущим выражением. Сначала нужно найти сумму внутри скобок, хотя знак сложения обычно имеет меньший приоритет, чем умножение. Только после этого можно умножить полученный результат на 4.
Ответ: 40. Варианты 7 + 3 · 4 и (7 + 3) · 4 отличаются скобками, поэтому их значения различны.
В выражении есть скобки, два умножения и несколько сложений. Сначала вычисляем внутреннюю разность, затем оба произведения. Лишь после этого складываем все получившиеся слагаемые слева направо.
Ответ: 38.
Считать строго слева направо. Так можно ошибочно сначала сложить числа, не заметив умножение. Проверьте, нет ли в выражении умножения без скобок.
Забывать о скобках. Иногда начинают с умножения вне скобок, хотя внутри ещё не выполнено действие. Перед счётом найдите все пары скобок и начните с самой внутренней.
Складывать раньше умножения из-за положения знака. Левое расположение знака не определяет приоритет действия. Сравните виды действий: без скобок умножение всегда выполняется раньше сложения.
Нарушать порядок действий одного уровня. При нескольких сложениях или умножениях нельзя произвольно выбирать любое действие. Отметьте первое действие слева и последовательно двигайтесь вправо.
До изучения темы нужно уверенно складывать и умножать натуральные числа. Также важно уметь читать записи со скобками и понимать, что скобки объединяют часть выражения. Эти навыки позволяют сосредоточиться именно на выборе порядка действий.
Правила пригодятся при вычислении числовых выражений и решении текстовых задач. Они нужны и при работе с формулами, где несколько действий записаны компактно. Правильный порядок помогает заменить буквы числами и получить верный результат.
Почему в выражении 7 + 3 · 4 сначала выполняют умножение?
Умножение имеет более высокий приоритет, чем сложение. Поэтому сначала находят 3 · 4, а затем прибавляют полученный результат к 7.
Всегда ли действие в скобках выполняют первым?
Да, сначала выполняют действия внутри скобок. Если внутри несколько действий, для них снова применяют общие правила порядка действий.
В каком порядке выполнять несколько умножений подряд?
Несколько умножений выполняют слева направо. Например, в выражении 2 · 3 · 5 сначала находят 2 · 3, затем умножают результат на 5.
Что делать, если в выражении есть скобки и умножение?
Сначала вычисляют выражение в скобках, затем выполняют умножение вне скобок. После этого переходят к сложению или другим действиям по правилам.
Может ли изменение скобок изменить значение выражения?
Да, скобки могут изменить порядок действий и значение выражения. Например, 7 + 3 · 4 и (7 + 3) · 4 дают разные результаты.
Умножение и сложение; порядок выполнения действий
