Умножение и вычитание: порядок выполнения действий

Определения и обозначения

Порядок выполнения действий — последовательность, в которой выполняют действия в числовом выражении, чтобы найти его значение. Например, запись 25 − 4 · 3 можно вычислить по-разному, если не договориться, какое действие делать первым. Общее правило позволяет всем получать один и тот же результат. Оно особенно нужно в выражениях, где встречается несколько действий.

Действия первой ступени — сложение и вычитание; без скобок их выполняют после действий второй ступени. Ступень здесь означает место действия в принятом порядке вычислений. Поэтому в выражении с умножением и вычитанием сначала находят произведение. Это помогает не принять привычное чтение слева направо за единственное правило.

Действия второй ступени — умножение и деление; если скобок нет, их выполняют раньше сложения и вычитания. Например, в выражении 20 + 6 : 2 сначала находят частное, а уже потом прибавляют его к 20. Когда рядом стоят умножение и деление, они равноправны и идут слева направо. Разделение на ступени показывает, какие вычисления имеют приоритет.

Скобки — знаки, которые выделяют действие или часть выражения для выполнения раньше остальных. Так, в записи (8 − 3) · 2 сначала вычисляют разность, хотя умножение обычно выполняют раньше вычитания. Скобки позволяют задать нужный порядок и меняют обычную последовательность вычислений. Если внутри скобок несколько действий, порядок определяют и там по тем же правилам.

Как это устроено

В выражении без скобок умножение выполняют раньше вычитания, потому что сначала нужно определить значение произведения, а потом сравнить его с уменьшаемым. Например, в 25 − 4 · 3 вычитание относится к первой ступени, а умножение — ко второй. Если сначала вычесть 4, получится уже другое выражение и другое значение. Поэтому сначала находят 4 · 3, а затем выполняют вычитание.

Если есть скобки, начинают с выражения внутри них, потому что скобки выделяют часть, которую нужно вычислить целиком до остальных действий. После этого полученное число подставляют вместо выражения в скобках. Далее снова применяют правило ступеней к оставшейся записи. Внутри скобок тоже нельзя автоматически считать слева направо: сначала проверяют, есть ли там действия второй ступени.

Несколько действий второй ступени выполняют слева направо, потому что умножение и деление имеют одинаковый приоритет. Нельзя сначала выбирать все умножения, а деления оставлять на потом: так может измениться результат. Например, в 24 : 3 · 2 первым будет деление, стоящее левее. После него выполняют умножение с полученным частным.

Сложение и вычитание выполняют слева направо после того, как закончены действия второй ступени. Эти действия также равноправны, поэтому нельзя произвольно начинать с того, которое кажется удобнее. Например, в 18 − 5 + 2 сначала получают 13, а затем прибавляют 2. Такой порядок сохраняет значение записи и делает вычисления последовательными.

Чтобы не потерять последовательность, отмечайте действие, которое выполняете сейчас, и записывайте результат следующей строкой. На каждом шаге заменяйте только одно действие его значением, не переставляя остальные числа и знаки. Затем заново проверьте скобки и ступень оставшихся действий. Такая запись помогает заметить ошибку, если, например, сложение сделали раньше умножения.

Порядок выполнения действий в числовом выражении

Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала проверь, есть ли скобки, и вычисли их содержимое. Затем выполни умножение и деление, если они есть, и только после этого переходи к сложению и вычитанию. Если в одной группе несколько действий, двигайся слева направо.

Разбор задач

Вычислите: 25 − 4 · 3. В записи есть вычитание и умножение, но скобок нет. Значит, сначала нужно выполнить действие второй ступени, а затем действие первой ступени. Не начинайте с числа 25 только потому, что оно стоит первым.

1. Определяем приоритет: умножение выполняется раньше вычитания.
2. Находим произведение: 4 · 3 = 12.
3. Подставляем результат и вычитаем: 25 − 12 = 13.

Ответ: 13. После первого шага выражение стало короче, но оставшееся действие сохранило свой знак и место. Значит, вычисления выполнены в заданной последовательности.

Вычислите: 48 − 6 · 5 + 12 : 3. Здесь есть и действия второй ступени, и действия первой ступени. Сначала выполняем умножение и деление, причём между ними движемся слева направо; затем считаем вычитание и сложение тоже слева направо. Такой разбор не позволяет случайно прибавить частное до завершения действий второй ступени.

1. Находим первое действие второй ступени слева: 6 · 5 = 30.
2. Выполняем деление: 12 : 3 = 4. Получаем 48 − 30 + 4.
3. Переходим к действиям первой ступени слева направо: 48 − 30 = 18.
4. Выполняем оставшееся сложение: 18 + 4 = 22.

Ответ: 22. В промежуточной записи видны все четыре исходных числа и ни одно действие не пропущено. Складывать 30 и 4 или менять порядок вычитания и сложения нельзя.

Вычислите: 72 − (18 − 3 · 4) · 2. Скобки требуют сначала разобрать выражение 18 − 3 · 4, но внутри них тоже есть умножение и вычитание. После вычисления скобок появится произведение, которое нужно найти до вычитания из 72. Так скобки задают первый этап, а ступени определяют порядок внутри каждого этапа.

1. Внутри скобок сначала умножаем: 3 · 4 = 12.
2. Вычитаем в скобках: 18 − 12 = 6.
3. Подставляем результат: 72 − 6 · 2. Сначала умножаем: 6 · 2 = 12.
4. Вычитаем: 72 − 12 = 60.

Ответ: 60. Перед вычислением последнего вычитания мы полностью нашли произведение за скобками. Каждый промежуточный результат получен без нарушения приоритета действий.

Типичные ошибки

Ошибка — выполнять все действия строго слева направо, не учитывая ступени. Так поступают, потому что читают запись как обычную строку, но в выражении порядок задают специальные правила. Например, в 25 − 4 · 3 нельзя сначала вычесть 25 − 4. Проверь себя: до сложения или вычитания найди в записи умножение и деление.

Ошибка — сначала сложить или вычесть, а затем умножать. Её допускают, когда считают, что первое по записи действие обязательно выполняется первым. Но действия второй ступени имеют приоритет перед первой, если нет скобок, меняющих порядок. Проверь себя: обведи умножение и деление и убедись, что выполнил их раньше сложения и вычитания.

Ошибка — выполнять действия одной ступени не слева направо, например в выражении с делением и умножением сначала выбрать умножение правее. Это происходит, если считать одно из действий важнее другого, хотя внутри ступени у них равный приоритет. Для сложения и вычитания правило такое же. Проверь себя: отмечай очередное действие от левого края, не пропуская действия той же ступени.

Ошибка — игнорировать скобки или начинать вычисления внутри них просто с левого края. Скобки выделяют часть, которую нужно вычислить первой, но внутри неё по-прежнему действуют правила ступеней. Поэтому в (18 − 3 · 4) сначала умножают, а потом вычитают. Проверь себя: сначала выдели скобки, затем найди приоритетные действия внутри них.

Связь с другими темами

Для вычислений по порядку действий нужны таблица умножения и деления, а также умение выполнять сложение и вычитание. Если отдельные операции пока вызывают затруднение, сначала повтори их на простых примерах. Тогда можно сосредоточиться на выборе очередного действия, а не на поиске результата таблицы. Уверенные вычислительные навыки помогают быстрее проверять ответы.

Правило порядка действий пригодится при нахождении значений числовых выражений и при работе с буквенными выражениями. В буквенной записи вместо некоторых чисел стоят буквы, но последовательность вычислений подчиняется тем же правилам. Это позволяет подставить значения букв и вычислить выражение без перестановки действий. Навык также помогает аккуратно записывать решения в несколько шагов.

Что запомнить

• Сначала выполняют действия в скобках.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Действия одной ступени выполняют слева направо.
• После действий второй ступени выполняют действия первой ступени.
• Скобки могут изменить обычный порядок вычислений.