"Математика", Чекин А.Л.
Числовое выражение — это запись чисел и знаков действий, по которой можно получить одно число. Чтобы вычислить его правильно, нужно соблюдать порядок действий: сначала учитывать скобки, затем умножение и деление, а после них сложение и вычитание. Действия одного порядка выполняют слева направо. Свойства сложения и умножения помогают выбирать более удобный способ счёта, а прикидка позволяет проверить, похож ли ответ на правдоподобный.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел и знаков действий, например 8 + 3 · 2. Она задаёт не просто набор знаков, а последовательность вычислений по установленным правилам. Это нужно, чтобы одинаковую запись все читали одинаково и получали один результат.
Порядок действий — очередность, в которой выполняют действия в выражении. Например, умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, а действия одного порядка — слева направо. Это правило помогает не выбирать последовательность наугад и не получать разные ответы.
Скобки — знаки, которые выделяют часть выражения и указывают, что её нужно вычислить раньше действий за скобками. В записи 8 · (3 + 2) сначала находят сумму 3 + 2. Скобки нужны, чтобы задать требуемую последовательность вычислений и избежать неоднозначности.
Значение выражения — число, которое получается после выполнения всех действий, указанных в записи. Например, значение выражения 8 + 3 · 2 равно 14, потому что сначала умножают 3 на 2, а затем складывают результат с 8. Это итог, который требуется найти при вычислении выражения.
Если скобок нет, сначала находят произведения и частные, а затем суммы и разности. Причина в том, что знаки действий задают разные уровни очередности: умножение и деление связывают числа сильнее, чем сложение и вычитание. Поэтому выражение 8 + 3 · 2 читают как 8 + (3 · 2), а не как (8 + 3) · 2. Иначе одна и та же запись могла бы означать разные вычисления.
Умножение и деление имеют одинаковый порядок, как и сложение с вычитанием. Внутри каждой такой группы считают слева направо, потому что именно так последовательно читается запись без скобок. Например, 24 : 6 · 2 означает сначала 24 : 6, затем полученное частное умножают на 2. Если произвольно начать с 6 · 2, получится другое число и фактически изменится выражение.
Скобки имеют приоритет перед действиями вне них: сначала вычисляют выражение внутри скобок, а после этого продолжают считать с полученным результатом. Если скобки вложены, сначала начинают с самых внутренних. Например, в 5 · (2 + 4) нельзя сначала умножить 5 на 2: скобки специально показывают, что сперва нужно найти сумму. Так можно задать нужную последовательность и отличить её от обычного порядка действий.
Свойства сложения и умножения позволяют менять группировку или порядок слагаемых и множителей, сохраняя значение выражения. Например, слагаемые можно переставить так, чтобы сначала получить круглое число, а множители — сгруппировать в удобную пару. Это не произвольное изменение: правило работает благодаря переместительному и сочетательному свойствам именно этих действий. Для вычитания и деления такая перестановка чисел обычно недопустима.
Перед записью ответа полезно прикинуть его величину: округлить числа или заменить их близкими удобными числами и оценить результат. Например, если в выражении складывают несколько чисел около 10, ответ не должен быть около 1000. Затем вычисления можно повторить, следя за каждым промежуточным результатом, либо найти более удобную группировку. Прикидка не доказывает точность ответа, но помогает быстро заметить грубую ошибку.
Пользуйтесь таблицей как коротким алгоритмом: сначала найдите скобки и вычислите их содержимое, затем переходите к действиям нужного порядка. Если нескольких действий одного порядка несколько, двигайтесь по записи слева направо. После каждого шага переписывайте выражение, заменяя выполненное действие его результатом.
| Ситуация в выражении | Что выполнять | Порядок |
|---|---|---|
| Есть действия в скобках | Действия внутри скобок | Сначала; при вложенных скобках — от внутренних к внешним |
| Умножение и деление | Умножение и деление | После скобок, слева направо |
| Сложение и вычитание | Сложение и вычитание | После умножения и деления, слева направо |
| Действия одного порядка | Действия равного приоритета | Слева направо |
Вычислите значение выражения 48 − 6 · 5. Здесь есть умножение и вычитание, поэтому нельзя просто начать с первого знака слева. Сначала найдём произведение, а затем выполним оставшееся вычитание. Такой порядок сохраняет смысл записи: из 48 вычитают всё произведение 6 · 5.
Ответ: 18. Если бы мы сначала вычли 48 − 6, выражение было бы прочитано неверно.
Вычислите значение выражения 72 : (3 + 5) + 4 · 6. Сначала нужно определить действия внутри скобок, потому что они задают первоочередную часть вычисления. После этого останутся деление, умножение и сложение: деление и умножение выполняются раньше сложения. Деление и умножение равного порядка выполним по отдельным частям выражения.
Ответ: 33. Для проверки можно оценить части: 72 : 8 даёт небольшое число, а 4 · 6 равно 24, поэтому сумма 33 выглядит правдоподобно.
Вычислите удобным способом 25 · 37 · 4. Все числа являются множителями, поэтому можно менять их порядок и группировку по свойствам умножения. Выберем пару, произведение которой легко найти: 25 · 4 = 100. Это превращает оставшееся вычисление в умножение на круглое число.
Ответ: 3700. Способ удобен, потому что умножение на 100 легко выполнить, дописав к числу два нуля.
Первая ошибка — выполнять все действия слева направо, не учитывая, что умножение и деление предшествуют сложению и вычитанию. Так случается, когда правило порядка действий забывают и начинают считать по записи механически. Перед вычислением отметьте, какие действия имеют приоритет; для самопроверки пересчитайте выражение, сначала выполнив умножение и деление.
Вторая ошибка — выбирать удобную очередность для действий одного порядка. Например, при делении и умножении можно ошибочно начать с любого знака, хотя без скобок нужно двигаться слева направо. Причина обычно в том, что умножение считают более важным, чем деление, или наоборот. Проверьте, какое действие встречается раньше в записи, и выполняйте именно его.
Третья ошибка — пропустить действие в скобках или потерять его результат при переписывании выражения. Ученик может торопиться и сразу перейти к умножению снаружи, не заменив скобки найденным числом. Чтобы проверить себя, сначала отдельно вычислите содержимое скобок, затем перепишите всю запись с результатом на их месте. Убедитесь, что остальные числа и знаки не изменились.
Четвёртая ошибка — менять порядок или группировку чисел, не проверив, подходит ли для этого свойство действия. Перестановка множителей допустима, но перестановка чисел при вычитании обычно меняет ответ. Ошибка возникает, когда свойства умножения автоматически переносят на другие действия. Назовите действие, которое преобразуете, и проверьте, сохраняет ли выбранное свойство его результат.
Для вычислений нужно уверенно знать таблицу умножения, правила сложения, вычитания, умножения и деления, а также понимать смысл скобок. Если эти основы освоены, остаётся правильно определить очередность действий и аккуратно выполнять промежуточные вычисления. Тот же порядок действий используют и с дробями, и с десятичными числами: меняются числа, но не принцип чтения выражения. Умение преобразовывать и упрощать записи понадобится далее в алгебре.
Что выполнять первым, если в выражении есть умножение и сложение?
Сначала выполняют умножение, а затем сложение, если скобки не задают другой порядок. Например, в выражении 3 + 2 · 5 сначала считают 2 · 5, затем прибавляют 3.
Почему действия одного порядка выполняют слева направо?
Такой порядок задаёт однозначное правило чтения выражения и не позволяет получать разные ответы в зависимости от выбора. Например, в записи 20 : 5 · 2 сначала выполняют деление, затем умножение.
Меняют ли скобки порядок вычислений?
Да, действие в скобках выполняют раньше действий вне них. Скобки помогают явно указать, какую часть выражения нужно вычислить первой.
Можно ли переставлять числа местами при умножении?
Да, от перестановки множителей произведение не меняется: a · b = b · a. Но переставлять числа можно именно при умножении; например, в вычитании такая перестановка обычно меняет результат.
Как быстро проверить, что ответ получился правдоподобным?
Сначала оцените результат приблизительно: округлите числа и выполните прикидку. Затем проверьте вычисления повторно или другим удобным способом и сравните полученный ответ с оценкой.
Поупражняемся в вычислениях
