"Математика", Чекин А.Л.
Числовое выражение — запись, в которой числа соединены знаками арифметических действий, иногда со скобками. Чтобы найти его значение, нужно вычислять действия в правильной очереди: сначала в скобках, затем умножение и деление, после них сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо. Эти правила помогают получить верный результат, а свойства действий позволяют считать удобнее и быстрее.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись из чисел, знаков арифметических действий и, возможно, скобок. Например, 18 + 4 · 3 — числовое выражение. Оно нужно, чтобы коротко описать вычисление и договориться, в какой очереди выполнять его части.
Значение числового выражения — число, которое получается после выполнения всех указанных действий. У записи 18 + 4 · 3 значение равно 30, потому что сначала умножают 4 на 3, а затем прибавляют 18. Поиск значения выражения и есть цель вычислений.
Порядок действий — установленная очередность выполнения вычислений в выражении. Сначала считают в скобках, затем выполняют умножение и деление, а после них сложение и вычитание. Это правило нужно, чтобы одинаковую запись все вычисляли одинаково и получали один результат.
Скобки — знаки, которые показывают, какие действия следует выполнить раньше остальных. Например, в записи (18 + 4) · 3 сначала складывают числа внутри скобок. Скобки помогают выделить нужную часть вычисления и могут изменить значение всего выражения.
Если скобок нет, выражение вычисляют по общему правилу, а не просто по ходу чтения слева направо. Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания: так задаётся единое понимание записи. Например, в 10 + 2 · 3 сначала находят произведение, иначе получилось бы другое число. Это соглашение позволяет записывать вычисления короче, не ставя скобки вокруг каждого шага.
Действия одной ступени имеют одинаковый приоритет, поэтому их выполняют слева направо. Так, в 24 : 6 · 2 сначала делят 24 на 6, а затем результат умножают на 2. Нельзя считать умножение автоматически раньше деления только потому, что оно кажется более важным: оба действия стоят на одной ступени. То же правило действует для сложения и вычитания.
Скобки меняют обычную очередность, потому что выделяют часть выражения, которую нужно посчитать первой. В записи (10 + 2) · 3 сначала находят сумму 12, затем умножают её на 3. Без скобок умножили бы только 2 на 3, после чего прибавили бы 10. Поэтому перед вычислением полезно заметить все скобки и определить, какие действия они объединяют.
Длинное выражение удобно разбить на последовательные промежуточные вычисления. Сначала выпиши результат действия, которое выполняется первым, затем продолжи по правилу и внимательно сохрани оставшиеся знаки. Такая запись позволяет увидеть, на каком шаге получено каждое число, и не перепутать очередность. Если в одной строке остаётся несколько действий одинаковой ступени, переходи по ним слева направо.
Свойства арифметических действий помогают сделать счёт проще, если преобразование не меняет значение выражения. Например, умножение можно распределить относительно сложения: a · b + a · c = a · (b + c). Тогда вместо двух умножений можно сначала сложить удобные числа в скобках. Перед таким упрощением проверь, что общий множитель вынесен правильно и охвачены все нужные слагаемые.
| Ситуация | Что выполнять | Порядок |
|---|---|---|
| Есть действия в скобках | Действия внутри скобок | Сначала |
| Умножение и деление без скобок | Умножение и деление | После скобок, слева направо |
| Сложение и вычитание без скобок | Сложение и вычитание | После умножения и деления, слева направо |
| Действия одной ступени | Действия с одинаковым приоритетом | Слева направо |
Пользуйся таблицей как маршрутом: сначала найди скобки, затем отметь умножение и деление, а в конце — сложение и вычитание. Если действий одной ступени несколько, выполняй их по очереди слева направо. После каждого шага сверяйся, какие действия ещё остались.
Задача 1. Вычислите 360 − 48 : 6 + 7 · 5. Здесь нет скобок, поэтому сперва нужно выполнить деление и умножение, а затем сложение и вычитание. Деление и умножение находятся на одной ступени, но между ними нет необходимости выбирать: выполним каждое до действий второй ступени. Запишем вычисление так, чтобы порядок был заметен.
Ответ: 387. Проверим прикидкой: 48 : 6 — небольшое число, а 7 · 5 равно 35, поэтому итог должен быть немного меньше 360 + 35. Полученное значение подходит к такой оценке.
Задача 2. Вычислите (360 − 48) : 6 + 7 · 5. По сравнению с предыдущей записью появились скобки, и теперь вычитание нужно выполнить до деления. После этого умножение и деление выполняются раньше сложения. Так видно, что даже небольшие изменения записи могут изменить ход и результат вычислений.
Ответ: 87. В первой задаче делили только 48, а здесь на 6 делится вся разность 360 − 48. Скобки изменили не сами числа, а то, какая часть выражения участвует в делении.
Задача 3. Вычислите 25 · 16 + 25 · 84. Можно выполнить оба умножения, а потом сложить результаты. Но в обоих слагаемых есть общий множитель 25, поэтому распределительное свойство позволяет вынести его за скобки. Так вычисление становится короче, а смысл выражения сохраняется.
Ответ: 2500. Проверка исходным способом даёт тот же результат: 25 · 16 = 400, 25 · 84 = 2100, а 400 + 2100 = 2500. Совпадение подтверждает, что преобразование выполнено верно.
Иногда сложение выполняют раньше умножения, потому что начинают считать слева направо и забывают о ступенях действий. Например, в 10 + 2 · 3 нельзя сначала складывать 10 и 2: ответ будет неверным. Перед вычислением подчеркни действия умножения и деления, которые нужно выполнить раньше. Затем проверь, что сложение осталось на последнем этапе.
Действия одной ступени иногда выполняют не слева направо, ошибочно считая умножение важнее деления или сложение важнее вычитания. Так меняется смысл записи, например 24 : 6 · 2. Проверяй выражение, просматривая действия слева направо внутри каждой ступени. Полезно записать результат каждого действия, не перескакивая через соседнее.
После вычисления в скобках можно забыть об общем порядке и сразу выполнять оставшиеся действия подряд. Скобки задают первый этап, но не отменяют правила для того, что находится за их пределами. Когда скобки вычислены, заново посмотри на оставшуюся запись и определи приоритеты. Такая повторная проверка помогает не принять скобки за разрешение считать всё слева направо.
При распределительном свойстве можно вынести общий множитель только у одного слагаемого или поставить скобки не вокруг всей нужной суммы. Тогда получается уже другое выражение. Проверь, что множитель относится к каждому слагаемому внутри скобок: a · b + a · c = a · (b + c). Для самопроверки можно вычислить исходную и преобразованную записи отдельно и сравнить ответы.
Для вычисления выражений нужны знание таблицы умножения и правила сложения, вычитания, умножения и деления. Также важно понимать смысл скобок: они показывают, какую часть записи нужно вычислить раньше. Если действия выполняются уверенно, легче решать длинные примеры и замечать ошибки в промежуточных шагах.
Этот навык пригодится при вычислении значений буквенных выражений: вместо букв подставляют числа и соблюдают тот же порядок действий. Он нужен и при преобразовании формул, когда выражение упрощают с помощью свойств действий. В уравнениях правильный счёт помогает проверить найденное значение и не допустить арифметическую ошибку.
Почему умножение выполняют раньше сложения?
Для выражений без скобок принято правило: умножение и деление имеют более высокий приоритет, чем сложение и вычитание. Благодаря единому порядку все получают одинаковый результат, даже если читают выражение по-разному.
В каком порядке выполнять умножение и деление в одном выражении?
Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому их выполняют слева направо. Например, в записи 24 : 6 · 2 сначала делят 24 на 6, а затем умножают результат на 2.
Что делать, если в выражении несколько пар скобок?
Сначала вычисляют выражения в самых внутренних скобках, а затем переходят к внешним. После этого продолжают по обычному порядку действий: умножение и деление, сложение и вычитание.
Можно ли изменить порядок вычислений, чтобы считать удобнее?
Можно использовать свойства действий, если преобразование сохраняет значение выражения. Например, в 25 · 16 + 25 · 84 удобно вынести общий множитель 25 за скобки. Нельзя просто переставлять действия с разным приоритетом.
Как проверить значение длинного числового выражения?
Можно повторить вычисления по шагам, проверяя порядок действий, а отдельные операции — обратными действиями. Ещё полезна прикидка: округлить числа и оценить, какого размера должен быть ответ.
Поупражняемся в вычислениях
