Вычисляем значения выражений

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись из чисел, знаков арифметических действий и, возможно, скобок. Оно имеет смысл, если все указанные действия можно выполнить: например, в выражении не должно быть деления на ноль. Это понятие помогает отличать запись, которую можно вычислить, от записи с невозможным действием.

Значение выражения — число, полученное после выполнения всех действий, указанных в записи. Например, значение выражения 7 + 5 — число 12. Это понятие позволяет назвать результат вычисления и сравнить его с результатом другого выражения.

Порядок выполнения действий — правила, по которым определяют, какое действие вычислять первым, вторым и далее. Он нужен, потому что одну и ту же запись можно посчитать по-разному, если произвольно менять последовательность действий. Соблюдение правил помогает получить именно то значение, которое задаёт выражение.

Скобки — знаки, которые показывают, какие действия нужно выполнить прежде остальных. Например, в записи 4 · (3 + 2) сначала складывают числа внутри скобок. Скобки помогают явно задать нужную последовательность вычислений.

Как это устроено

Сначала вычисляют действия в скобках, потому что скобки выделяют часть выражения, значение которой нужно найти до работы с остальной записью. Если скобки вложены, начинают с самых внутренних: пока их содержимое не вычислено, нельзя получить значение внешней части. После вычисления внутренних скобок их результат используют при вычислении следующего уровня. Например, в записи (6 + (8 − 3)) сначала находят 8 − 3, а затем прибавляют полученное число к 6.

Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, если скобки не установили иной порядок. Это правило закрепляет договорённость о том, как читать запись без скобок: например, 4 + 2 · 3 означает, что к 4 прибавляют произведение 2 и 3. Если сложить сначала, получится другое число, поэтому скобки нужны, когда требуется изменить обычный порядок: (4 + 2) · 3. Сначала проверь наличие скобок, а затем ищи умножение и деление.

Умножение и деление относятся к одной ступени, как и сложение с вычитанием. Поэтому внутри такой пары нельзя назначить одному действию постоянное преимущество: выполняют то, которое стоит левее. Например, в 24 : 6 · 2 сначала делят 24 на 6, а потом результат умножают на 2. То же правило действует для сложения и вычитания: в 15 − 4 + 2 сначала выполняют вычитание, затем сложение.

Чтобы не потерять порядок вычислений, записывай промежуточный результат после одного действия. Каждый новый шаг должен быть равен предыдущей записи и отличаться от неё только уже выполненным действием. Так проще заметить, если случайно посчитано сложение вместо умножения или пропущен знак. При длинном выражении такая запись ещё и показывает, какие действия уже выполнены.

В конце проверь вычисление, сверяя его с исходной записью. Проследи по промежуточным строкам, что сначала учтены скобки, затем действия нужных ступеней и что каждое действие встречается в вычислении. Подставь промежуточные результаты обратно в запись: после замены вычисленного фрагмента должно остаться выражение, равное исходному. Такая проверка помогает найти пропуск или ошибку при переписывании.

Порядок выполнения арифметических действий

Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала проверь, есть ли скобки, а затем определи, какие действия остались. Если действий одной ступени несколько, двигайся по записи слева направо. После каждого шага снова сверяйся с выражением.

Разбор задач

Задача 1. Найди значение выражения 48 − 6 · 5. Скобок нет, а в записи есть умножение и вычитание. Значит, сначала нужно найти произведение, а уже затем вычесть его из 48.

1. Выполняем умножение: 6 · 5 = 30.
2. Подставляем результат в выражение: 48 − 30.
3. Вычитаем: 48 − 30 = 18.

Ответ: 18. Проверка порядка проста: действие умножения выполнено до вычитания, как и требуется для выражения без скобок.

Задача 2. Найди значение выражения 72 : 8 · 3 + 14. Скобок нет; деление и умножение относятся к одной ступени, поэтому нельзя сначала выбирать умножение только из-за его вида. Сначала выполняется действие, расположенное левее, а сложение откладывается до завершения деления и умножения.

1. Первым выполняем деление слева: 72 : 8 = 9.
2. В полученной записи 9 · 3 + 14 выполняем умножение: 9 · 3 = 27.
3. Теперь выполняем сложение: 27 + 14 = 41.

Ответ: 41. Каждый шаг сохраняет порядок исходной записи: сначала действия одной ступени слева направо, затем сложение.

Задача 3. Найди значение выражения 90 − (24 + 18 : 3) · 5. Скобки требуют сначала вычислить их содержимое, но и внутри скобок действует обычный порядок действий. Поэтому в скобках сначала нужно разделить, затем сложить; после этого выполняются умножение и вычитание снаружи.

1. Выполняем деление внутри скобок: 18 : 3 = 6.
2. Вычисляем сумму в скобках: 24 + 6 = 30.
3. Умножаем результат скобок на 5: 30 · 5 = 150.
4. Вычитаем полученное число из 90: 90 − 150 = −60.

Ответ: −60. Проверка показывает, что сначала выполнены действия внутри скобок, затем умножение и последним — вычитание.

Типичные ошибки

Ошибка — выполнить сложение раньше умножения только потому, что знак сложения записан левее. Так поступают, когда читают выражение просто подряд, не учитывая ступени действий. Проверяй, нет ли в записи умножения или деления: без скобок они выполняются прежде сложения и вычитания. Например, в 3 + 4 · 2 сначала находят произведение.

Ошибка — всегда выполнять умножение раньше деления, если эти действия стоят рядом. Ученик может запомнить, что умножение «важнее», хотя оба действия равноправны и относятся к одной ступени. Проверка: найди первое слева действие этой ступени и выполни его; в 24 : 6 · 2 первым будет деление. Затем продолжай по записи слева направо.

Ошибка — игнорировать скобки, если выражение кажется простым. Иногда скобки воспринимают как украшение, хотя они задают обязательную последовательность и могут изменить ответ. Перед вычислением обведи взглядом все пары скобок и начни с действий внутри них. Если убрать или переставить скобки, получится уже другое выражение.

Ошибка — пропустить промежуточное действие или изменить знак при переписывании. Это часто происходит, когда длинную запись пытаются вычислить в уме или сразу переносят несколько результатов. Проверяй, что между соседними строками изменилось только одно уже выполненное действие, а остальные числа и знаки сохранены. Сверка с исходной записью помогает обнаружить потерянное действие до того, как ошибка повлияет на весь ответ.

Связь с другими темами

Для вычисления выражений нужны навыки сложения, вычитания, умножения и деления натуральных чисел. Также нужно уметь читать запись со скобками и понимать, какое действие в ней обозначено каждым знаком. Если вычисления этих действий ненадёжны, даже правильно выбранный порядок не гарантирует верный ответ.

Правила порядка действий применяются не только к натуральным числам. Они понадобятся в выражениях с дробями, десятичными числами и степенями, где нужно так же внимательно учитывать скобки и ступени действий. Освоение правил сейчас помогает не путаться в более сложных вычислениях.

Аккуратная запись промежуточных шагов полезна при решении задач и преобразовании выражений. Она показывает, откуда появился каждый результат, и позволяет вернуться к месту возможной ошибки. Поэтому порядок действий связан не только с вычислением, но и с умением обосновать решение.

Что запомнить

• Сначала выполняй действия в скобках.
• Умножение и деление выполняй раньше сложения и вычитания.
• Действия одной ступени выполняй слева направо.
• Скобки нельзя пропускать или переставлять.
• Промежуточные результаты записывай аккуратно.
• Значение выражения — результат всех выполненных действий.