"Математика", Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В.
Целое — это предмет или количество, которое рассматривают как единство, составленное из частей. Части выделяют по общему основанию: например, карандаши в коробке можно разделить по цвету. Все выделенные части вместе должны давать исходное целое, без потерь и лишних предметов. Эта связь помогает увидеть, что известно в задаче, найти общее количество или восстановить неизвестную часть. Схема делает рассуждение наглядным.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Целое — предмет или количество, которое рассматривают как единое и которое состоит из частей. Например, набор всех карандашей в коробке можно считать целым. Это понятие помогает определить, какие именно предметы или единицы количества мы рассматриваем вместе.
Часть — составная часть целого, которую можно выделить, не меняя того, из чего целое состоит. Если карандаши в наборе красные и синие, каждая группа может быть отдельной частью. Выделение частей нужно, чтобы описать состав набора и отдельно рассуждать о его элементах.
Отношение «целое — части» — связь, при которой целое образовано из частей, а части вместе составляют это целое. Например, красные и синие карандаши вместе дают все карандаши набора. Это отношение помогает понять, как связаны отдельные группы и общий результат.
Состав целого — указание, из каких частей оно состоит и как эти части связаны. Можно описать набор как состоящий из красных и синих карандашей или разделить фигуры на круги и треугольники. Описание состава нужно, чтобы не перепутать целое с одной его частью и выбрать подходящий способ решения задачи.
Чтобы определить, образуют ли предметы или количества целое, сначала выбирают общее основание: например, «все карандаши в коробке» или «все фигуры в наборе». Именно это основание объясняет, почему предметы рассматриваются вместе. Если вещи лишь лежат рядом, но не входят в выбранный набор, объединять их нельзя. Поэтому перед решением задачи полезно назвать целое словами и уточнить, какие предметы в него входят.
Части должны вместе составлять целое, потому что смысл деления — показать состав именно этого целого, а не произвольного набора предметов. Если какая-то часть пропущена, целое окажется описано не полностью; если добавлены посторонние предметы, описание станет неверным. Проверить это можно, сопоставляя каждую часть с исходным набором: все ли его элементы учтены и не посчитан ли какой-нибудь элемент дважды. Такая проверка особенно полезна, когда части выделены по разным признакам.
Связь можно изобразить схемой: сначала обозначить целое, а затем показать, на какие части оно разделено. Например, один прямоугольник может обозначать все кубики, а две его части — кубики в башне и в постройке. Схема нужна не для украшения: она показывает, что части относятся к одному целому, и помогает увидеть, какая из них известна. Если неизвестна часть, на схеме её можно обозначить вопросительным знаком.
Если известны все части, целое находят, объединяя их. Для предметов это значит собрать или мысленно рассмотреть группы вместе, а для количеств — сложить их числа. Затем полезно пересчитать объединённый набор или сравнить его с исходным целым, если оно доступно. Проверка показывает, что каждая часть учтена и общий результат соответствует условию.
Если известно целое и одна его часть, неизвестную часть находят, отделяя известную от целого. Для предметов можно убрать или мысленно выделить знакомую группу и рассмотреть остаток; для количеств обычно вычитают известное число из общего. Такой способ отличается от нахождения целого: здесь не объединяют части, а выясняют, чего не хватает до целого. В конце остаток можно присоединить к известной части и проверить, получается ли исходное количество.
Таблица помогает выбрать рассуждение по тому, что уже известно. Сначала найди строку, которая подходит к условию, затем посмотри, что требуется определить. Если известны все части, их объединяют; если известно целое и одна часть, ищут остаток. После решения проверь, что ответ согласуется с составом целого.
| Что известно | Что требуется найти | Как рассуждать |
|---|---|---|
| Известны все части | Неизвестно целое | Объединить части; для количеств сложить их. |
| Известны целое и одна часть | Неизвестна одна из частей | Отделить известную часть и определить, что осталось. |
Задача 1. В коробке лежат 3 красных и 2 синих карандаша. Сколько карандашей всего? Здесь целое — все карандаши в коробке, а красные и синие карандаши — две его части. Нужно найти целое, поэтому количества частей следует объединить.
Ответ: всего 5 карандашей.
Задача 2. В наборе 9 фигур: 4 круга, остальные — треугольники. Сколько треугольников? Целое здесь — все 9 фигур, а круги и треугольники — его части. Количество кругов известно, поэтому нужно найти не целое, а оставшуюся часть.
Ответ: 5 треугольников.
Задача 3. Из 12 кубиков составили башню и постройку. В башне 5 кубиков. Сколько кубиков в постройке? Целое — все 12 кубиков, а части — кубики башни и постройки. Схема помогает увидеть, что две части вместе должны дать 12, а известна только часть башни.
Ответ: в постройке 7 кубиков.
Считать частью любой предмет, который просто находится рядом с целым, — ошибка: соседство не доказывает, что предмет входит в набор. Её допускают, когда не уточняют, что именно объединено условием задачи. Проверь себя: можешь ли ты назвать общее основание для всех предметов? Если нет, сначала определи, какие объекты относятся к рассматриваемому целому.
Иногда одну из частей принимают за целое. Так происходит, если замечают знакомую группу, но забывают, что в условии рассматривается весь набор. Проверь, включает ли названное целое все части или только одну из них. Например, красные карандаши — часть набора, если в коробке есть ещё и синие.
Ещё одна ошибка — забыть, что части вместе должны составлять целое. Тогда часть предметов теряется или один и тот же предмет учитывается дважды. После выделения частей сопоставь их с исходным целым: каждый ли предмет попал в одну из частей и нет ли лишнего? Для количеств можно объединить части и сравнить сумму с целым.
Нахождение целого и нахождение неизвестной части — разные задачи, хотя в обеих речь идёт о тех же объектах. Если известны все части, их объединяют; если известно целое и одна часть, определяют, что осталось. Ошибку помогает заметить схема с вопросительным знаком: отметь, где он стоит — над всем целым или над одной из его частей. Затем проверь, соответствует ли выбранное действие этому вопросу.
Для работы с целым и частями полезно уметь сравнивать предметы и количества, пересчитывать их и объединять в группы. Эти навыки помогают выбрать основание для разделения и проверить, всё ли учтено. Представление целого и частей пригодится при изучении сложения и вычитания: сложение объединяет известные количества, а вычитание помогает найти остаток. Оно также используется в составных задачах и при разложении чисел на слагаемые.
Чем целое отличается от части?
Целое включает все рассматриваемые части вместе. Часть — только одна из выделенных групп или долей целого. Например, все карандаши в коробке — целое, а красные карандаши — его часть.
Как понять, что предметы составляют одно целое?
Нужно выяснить, объединены ли предметы общим основанием и входят ли они в один рассматриваемый набор. Простого соседства недостаточно: карандаш рядом с коробкой не становится частью набора карандашей в ней.
Может ли одно и то же количество быть целым и частью?
Да, это зависит от того, что именно сравнивают. Например, группа красных карандашей может быть частью всех карандашей в коробке и целым, если рассматривают только эту группу.
Как найти целое, если известны его части?
Нужно объединить все известные части. Для количеств это обычно означает сложить их, а затем проверить, что учтены все части и ничего лишнего не добавлено.
Как проверить, что найденные части действительно составляют целое?
Сопоставьте части с исходным целым: все ли его предметы или элементы учтены и нет ли среди частей посторонних. Если части можно пересчитать, объедините их и сравните результат с количеством целого.
Целое и части
