Вычисление целого

Определения и обозначения

Целое — величина или количество, состоящее из всех равных частей. Например, весь маршрут, число или масса предмета могут быть целым. Это понятие нужно, чтобы отличать всю величину от одной или нескольких её частей.

Часть целого — величина, полученная при разделении целого на равные части. Если путь разделили на 5 одинаковых отрезков, каждый отрезок является частью целого пути. Такое представление помогает связать известную величину с полной величиной.

Доля — одна из равных частей целого, обозначаемая дробью с числителем 1. Например, 1/6 означает одну часть из шести равных частей. Доля показывает, какую небольшую часть целого мы знаем.

Дробь как часть целого показывает, сколько равных частей взято и сколько таких частей составляет целое. В дроби m/n число m называют числителем, а число n — знаменателем: числитель показывает взятые части, знаменатель — общее число равных частей. Эта запись позволяет вычислять целое, когда известны не все части.

Как это устроено

Целое и его равные части связаны числом частей и величиной одной части. Если целое разделили на n одинаковых частей, то целое можно собрать обратно, сложив n таких частей. Поэтому при величине одной части a вся величина равна a · n.

Чтобы вычислить целое по одной равной части, сначала мысленно определяют величину этой части, а затем считают, сколько таких частей составляет целое. Если одна часть уже известна, первый шаг выполнен. Остаётся умножить её величину на число равных частей, потому что умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых.

Если дано, что величина a составляет дробь m/n целого, это означает: от целого взяли m частей из n. Искомое целое обозначим x, тогда связь записывается так: (m/n) · x = a. Чтобы найти x, известную величину делят на дробь: x = a : (m/n).

Числитель и знаменатель используются в определённом порядке, потому что они отвечают за разные сведения. Числитель m показывает, сколько частей содержится в известной величине, а знаменатель n — сколько равных частей в целом. Поэтому a : (m/n) = a · n/m: знаменатель переходит в множитель, а числитель — в делитель.

Результат полезно проверять обратным действием. Если найденное целое равно x, нужно вычислить его заданную часть: x · m/n. Получившееся число должно совпасть с известной величиной, иначе в записи дроби или вычислениях допущена ошибка.

Способы вычисления целого по известной части

Сначала определите, что именно известно: одна часть или несколько частей, записанных дробью. Затем выберите строку таблицы и подставьте данные вместо букв. После вычисления проверьте ответ, найдя по нему известную часть.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Одной шестой длины маршрута соответствует 4 км. Нужно найти длину всего маршрута. Число 4 обозначает величину одной из шести равных частей.

Решение. Поскольку известна доля 1/6, целое состоит из шести таких долей.

1. Умножаем величину одной части на число частей: 4 · 6 = 24 км.
2. Проверяем: 24 : 6 = 4 км, значит, одна шестая найдена верно.

Ответ: длина маршрута равна 24 км.

Задача 2

Условие. Три пятых числа равны 24. Требуется найти всё число. Здесь 24 — не одна часть, а три из пяти равных частей.

Решение. Обозначим искомое число буквой x и запишем условие: (3/5) · x = 24. Так как известна величина, составляющая дробь целого, делим её на эту дробь.

1. Находим число: x = 24 : (3/5).
2. Заменяем деление умножением на обратную дробь: 24 · 5/3 = 40.
3. Проверяем: 40 · 3/5 = 24.

Ответ: искомое число равно 40.

Задача 3

Условие. В первый день туристы прошли 7/12 всего пути, что составило 21 км. Нужно узнать, сколько километров осталось пройти. Сначала требуется восстановить весь путь, а затем убрать уже пройденную часть.

Решение. Известные 21 км составляют 7/12 целого, поэтому весь путь находим делением на 7/12.

1. Вычисляем весь путь: 21 : (7/12) = 21 · 12/7 = 36 км.
2. Вычитаем расстояние первого дня: 36 − 21 = 15 км.
3. Проверяем: 36 · 7/12 = 21 км, условие выполняется.

Ответ: туристам осталось пройти 15 км.

Типичные ошибки

Умножают известную часть на знаменатель, не учитывая числитель при дроби m/n. Так поступают, потому что помнят правило для одной доли 1/n. Нужно сначала посмотреть на числитель и проверить ответ умножением найденного целого на m/n.

Делят известную часть на числитель вместо деления на дробь m/n. Причина ошибки — смешение двух разных задач: нахождения одной части и восстановления целого. Запишите действие a : (m/n), а затем сравните полученную дробь с условием.

Принимают известную часть за целое и не проверяют размер результата. Это происходит, если не выделить в условии слова «часть», «доля» или «составляет». Найденное целое должно быть больше известной части, если дробь меньше 1.

Не выполняют обратную проверку или умножают найденное целое на обратную дробь. Такая проверка уже отвечает на другой вопрос и не подтверждает условие задачи. Нужно вычислить именно заданную часть: x · m/n.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать смысл дроби, а также уметь умножать и делить натуральные числа и дроби. Вычисление целого опирается на представление о целом и равных частях, а также на обратные арифметические действия. Приём используется в задачах на дроби и проценты, расстояния, стоимость, массу и время.

Что запомнить

• Целое состоит из всех равных частей.
• Если известна одна из n равных частей, целое находят умножением этой части на n.
• Если величина a составляет дробь m/n целого, целое равно a : (m/n).
• Чтобы найти целое по его части, нужно разделить известную часть на соответствующую дробь.
• При нахождении целого по дроби числитель и знаменатель нельзя менять местами без основания.
• Результат можно проверить нахождением заданной части от найденного целого.