"Математика", Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В.
Изменение величины показывает, как её значение переходит от начального к конечному. Главный инструмент описания такого перехода — приращение, то есть разность конечного и начального значений. По его знаку определяют увеличение или уменьшение, а по отношению к начальному значению оценивают изменение в процентах. Если величина меняется со временем, используют среднюю скорость изменения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Приращение величины — разность между её конечным и начальным значениями: Δa = a₂ − a₁. Оно показывает направленное изменение: знак сообщает, стала величина больше или меньше. Это удобнее простого сравнения чисел, потому что приращение сразу даёт величину и направление перехода.
Абсолютное изменение — числовое значение приращения с указанием единиц измерения. Например, изменение длины на 3 см и изменение температуры на 3 °C имеют разные единицы и описывают разные величины. Такой показатель нужен, когда спрашивают, на сколько единиц изменилась величина.
Относительное изменение — отношение приращения к начальному значению: Δa / a₁. Оно показывает долю исходной величины, которая изменилась, поэтому позволяет сравнивать изменения разных по размеру объектов. Обычно результат записывают десятичной дробью или процентом.
Средняя скорость изменения — отношение изменения одной величины к изменению другой, например времени: Δa / Δt. Она показывает, сколько единиц величины приходится в среднем на одну единицу времени. Такой показатель используют, когда важно учитывать не только результат, но и длительность изменения.
Чтобы описать переход от одного значения к другому, сначала нужно выбрать начальное и конечное состояния. Вычитание конечного значения из начального показывает обратное направление и меняет привычный смысл знака. Поэтому используют порядок «конечное минус начальное»: если результат положителен, конечное значение расположено выше начального, а если отрицателен — ниже него.
Положительное приращение означает увеличение: например, переход от 5 к 8 даёт 8 − 5 = 3. Отрицательное приращение означает уменьшение, как при переходе от 8 к 5: 5 − 8 = −3. Нулевое приращение получается, когда начальное и конечное значения совпадают, поэтому величина не изменилась.
Абсолютное изменение отвечает на вопрос «на сколько единиц?», а относительное — «какую часть от исходного значения?». Приращение 10 рублей для товара за 40 рублей и для товара за 400 рублей одинаково в абсолютном смысле. Но доли различны: 10 / 40 = 0,25, а 10 / 400 = 0,025, поэтому для дешёвого товара изменение значительно заметнее.
Чтобы получить процент, относительное изменение умножают на 100%: Δa / a₁ · 100%. Делить нужно именно на начальное значение, потому что оно является исходной мерой сравнения. Например, рост с 800 до 920 рублей составляет 120 / 800 = 0,15, то есть 15% от прежней цены.
Если величина меняется за некоторый промежуток времени, одного приращения недостаточно: одинаковый путь можно пройти за разные сроки. Поэтому приращение делят на продолжительность промежутка: Δa / Δt. Полученная средняя скорость изменения показывает темп за весь промежуток, хотя внутри него скорость могла быть неодинаковой.
| Характеристика | Формула | Что показывает | Единицы измерения |
|---|---|---|---|
| Приращение | Δa = a₂ − a₁ | Направление и величину перехода от начального значения к конечному | Единицы величины |
| Абсолютное изменение | |Δa| или числовое значение Δa | На сколько единиц величина изменилась | Единицы величины |
| Относительное изменение | Δa / a₁ | Долю изменения по отношению к начальному значению | Без единиц |
| Изменение в процентах | Δa / a₁ · 100% | Долю изменения, выраженную в процентах | Проценты |
| Средняя скорость изменения | Δa / Δt | Изменение величины за единицу другой величины, например времени | Единицы величины на единицу времени |
Сначала определите, что именно требуется найти: разность, долю, процент или темп изменения. Затем выберите строку таблицы и проверьте, совпадают ли единицы начального и конечного значений. Если используется процентная запись, не забудьте умножить относительное изменение на 100%.
Температура воздуха изменилась с −4 °C до 3 °C. Нужно найти приращение и определить направление изменения.
Ответ: приращение равно 7 °C; температура увеличилась на 7 °C.
Цена товара выросла с 800 рублей до 920 рублей. Требуется найти абсолютное и относительное изменение, а относительное изменение выразить в процентах.
Ответ: абсолютное изменение — 120 рублей, относительное — 0,15, или 15%.
Автомобиль за первые 2 часа увеличил пройденный путь с 40 до 180 км, а за следующие 2 часа — с 180 до 260 км. Нужно сравнить средние скорости изменения пути.
Ответ: на первом промежутке средняя скорость изменения пути была 70 км/ч, на втором — 40 км/ч; первый показатель больше на 30 км/ч.
Конечное значение вычитают из начального. Так часто делают из-за привычки начинать вычисление с первого записанного числа, но знак результата меняется. Запишите рядом стрелку от начального значения к конечному и проверьте порядок: Δa = конечное − начальное.
Делят на конечное значение. Ошибка возникает, когда конечное число воспринимают как главный результат. Относительное изменение сравнивают с исходным состоянием, поэтому знаменатель — a₁; полезно сначала подписать над числами «начальное» и «конечное».
Смешивают единицы измерения. Например, из 3 км нельзя непосредственно вычитать 500 м. Переведите всё в метры или всё в километры, а затем выполните действие и сохраните выбранную единицу.
Путают абсолютное изменение и проценты. Число 120 рублей сообщает сумму изменения, а 15% — его долю от начальной цены. Проверьте обозначение ответа: у суммы должны быть единицы, у процентного результата — знак %.
До изучения темы нужны действия с положительными и отрицательными числами, дробями, отношениями и процентами. Эти навыки позволяют правильно вычислять разности и доли.
С функцией связь появляется через приращение аргумента и приращение функции: изменение входного значения вызывает изменение результата. Позже это помогает читать графики и исследовать зависимости.
Понятия изменения и средней скорости пригодятся при изучении движения, процентов, пропорциональных зависимостей, графиков и производной. Они учат сравнивать не только значения, но и темп их изменения.
Почему приращение может быть отрицательным?
Приращение равно конечному значению минус начальному. Если конечное значение меньше начального, разность отрицательна, поэтому знак показывает уменьшение величины.
Чем абсолютное изменение отличается от относительного?
Абсолютное изменение показывает, на сколько единиц изменилась величина, и имеет те же единицы измерения. Относительное изменение показывает, какую долю от начального значения составляет это изменение.
Почему относительное изменение считают по начальному, а не по конечному значению?
Начальное значение служит точкой отсчёта: с ним сравнивают результат изменения. Деление на конечное значение дало бы другой показатель, который не отвечает на вопрос, какую часть исходной величины составляет изменение.
Можно ли сравнивать изменения величин, измеренных в разных единицах?
Нельзя, пока единицы не приведены к общим. Например, километры и метры нужно перевести в одну единицу, иначе разность и сравнение будут некорректными.
Чем средняя скорость изменения отличается от самого приращения?
Приращение показывает только, насколько изменилась величина. Средняя скорость изменения дополнительно учитывает промежуток, за который это произошло, поэтому равна отношению приращения к изменению другой величины, например времени.
Изменение величины
