"Математика", Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В.
Количество показывает, сколько предметов входит в совокупность, и не зависит от того, как они расположены. Его можно установить, сопоставив предметы попарно, или пересчитав их. При пересчёте каждому предмету ставят в соответствие числовое слово, а последнее из них обозначает всю совокупность. Число помогает записать установленное количество. Эти идеи нужны, чтобы сравнивать предметы и понимать смысл сложения, вычитания, умножения и деления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Количество — характеристика совокупности предметов, отвечающая на вопрос «сколько?» и не зависящая от их расположения. Например, количество пуговиц не изменится, если разложить их из кучки в ряд. Это понятие нужно, чтобы отличать число предметов от того, сколько места они занимают.
Число — знак или слово, с помощью которого записывают установленное количество. Если пересчёт показал семь яблок, результат можно записать числом 7 или словами «семь яблок». Число помогает кратко сообщать результат и выполнять вычисления с количествами.
Счётная единица — один предмет или одна группа предметов, принимаемая за единицу при подсчёте. Обычно считают отдельные предметы: одна книга, две книги и так далее. Но можно считать и одинаковые группы, если заранее договориться, что каждая группа считается за одну единицу.
Сравнение количеств — установление, в какой совокупности предметов больше, меньше или столько же. Для этого предметы можно сопоставить попарно или пересчитать и сравнить полученные числа. Такое сравнение нужно, чтобы не спутать количество с размером предметов или занимаемым ими местом.
При непосредственном сравнении две совокупности располагают так, чтобы было удобно сопоставлять их предметы. Каждому предмету одной совокупности подбирают пару из другой; если после этого предметы остались без пары, их совокупность больше. Такой способ работает, потому что сравниваются сами предметы, а не длина рядов или занимаемая площадь. Для небольших совокупностей сопоставление часто быстрее пересчёта.
Взаимно-однозначное соответствие означает, что каждому предмету первой совокупности поставлен в пару ровно один предмет второй, и наоборот. Если пары составлены без остатка, предметов поровну: ни один предмет не пропущен и ни один не использован дважды. Поэтому равенство количеств можно установить без называния чисел для всех предметов. Этот приём особенно полезен, когда предметы перемешаны или их трудно быстро пересчитать.
При пересчёте предметы соотносят с числовыми словами натурального ряда: один, два, три и так далее. Каждому предмету нужно назначить ровно одно слово, иначе какой-то предмет будет пропущен или посчитан дважды. Последнее названное число показывает, сколько предметов охвачено счётом, потому что счёт начался с единицы и продолжался без пропусков. Так получают число, которым записывают всё количество.
Количество сохраняется при перестановке, изменении расстояния между предметами и группировке, если ни один предмет не добавили и не убрали. Причина в том, что состав совокупности остался прежним: каждый предмет, который был сначала, остаётся в ней. Ряд может стать длиннее, а кучка — шире, но это меняет только расположение. Проверить сохранение можно, пересчитав предметы или сопоставив их до и после изменения.
Если к совокупности добавляют предметы, к прежним предметам присоединяется новая часть, поэтому количество увеличивается. Если часть предметов убирают, остаётся меньше, и количество уменьшается. При разделении на равные группы исходное количество распределяется между ними, а при объединении групп их количества складываются. Эти изменения описывают действия сложения, вычитания, умножения и деления.
Таблица помогает выбрать способ в зависимости от ситуации: для небольшого числа предметов удобно сопоставление, а для определения точного количества — пересчёт. При группировке фиксируют и число групп, и число предметов в каждой. Если совокупность изменяется, запись показывает, как прибавление или удаление связано с новым количеством.
| Ситуация | Как устанавливают количество | Результат | Пример записи |
|---|---|---|---|
| Сравнение двух небольших совокупностей | Сопоставляют предметы попарно | Больше, меньше или поровну | 5 > 3 |
| Пересчёт совокупности | Соотносят предметы с числами натурального ряда | Число, обозначающее всё количество | 7 предметов |
| Группировка предметов | Объединяют предметы в равные группы и считают группы и остаток | Количество выражают через группы | 3 группы по 4 предмета |
| Изменение совокупности | Добавляют или убирают предметы | Количество увеличивается или уменьшается | 6 + 2 = 8 |
Задача 1. Сравнить 6 красных фишек и 8 синих фишек, разложенных на столе в два ряда разной длины. Длина ряда может зависеть не только от количества, но и от расстояния между фишками. Поэтому нужно выяснить, сколько предметов в каждом ряду, не полагаясь на его длину. Удобнее всего составить пары.
Ответ: синих фишек на 2 больше. Сопоставление показывает разницу, даже если ряды имеют разную длину или фишки в них раздвинуты неодинаково. При пересчёте результат был бы тем же.
Задача 2. В коробке 18 карандашей. Их разложили поровну в 3 стакана. Сколько карандашей в каждом стакане? Здесь известны общее количество и число равных групп, а неизвестно количество в одной группе. Значит, нужно разделить совокупность на одинаковые части.
Ответ: в каждом стакане 6 карандашей. Проверка обратным действием подтверждает результат: 6 карандашей в каждом из 3 стаканов составляют 18 карандашей. Условие «поровну» важно: без него в стаканах могло бы оказаться разное количество.
Задача 3. На полке стояло несколько книг. После того как поставили ещё 7 книг, их стало 19. Сколько книг было сначала? Известно итоговое количество после увеличения, но начальное количество неизвестно. Чтобы его восстановить, надо убрать из результата добавленную часть.
Ответ: сначала на полке было 12 книг. Проверим: если к 12 прибавить 7, получится 19, как сказано в условии. Вычитание здесь не просто вычисление, а способ восстановить совокупность до её увеличения.
Иногда считают, что в длинном или широко разложенном ряду предметов больше. Так происходит, если длину ряда принимают за количество и не учитывают промежутки между предметами. Чтобы проверить себя, сопоставь предметы попарно или пересчитай их: при перестановке без добавления и удаления количество сохраняется.
Другая ошибка — произносить числовые слова подряд, не соотнося каждое из них с отдельным предметом. Тогда слова счёта перестают показывать количество: можно назвать число, но не посчитать совокупность. Проверка простая: укажи на каждый предмет один раз, одновременно называя следующее число, и убедись, что ни один предмет не остался без счёта.
При повторном пересчёте иногда начинают с другого числа или пропускают предмет. Это случается, когда предметы не отмечают и легко теряют место, на котором остановились. Разложи предметы в ряд или передвигай уже посчитанные в сторону, а затем пересчитай ещё раз, сохраняя порядок счёта от единицы.
Некоторые полагают, что после перестановки количество изменилось. Причина — предметы выглядят иначе расположенными, и это впечатление принимают за изменение самой совокупности. Проверь, добавили или убрали ли что-нибудь; если нет, пересчитай предметы или установи пары до и после перестановки. Результат покажет, что количество осталось прежним.
Для изучения количества нужно уметь пересчитывать предметы, сравнивать числа и понимать слова «больше», «меньше» и «равно». Эти умения помогают перейти от конкретных совокупностей к действиям с числами. Сложение, вычитание, умножение и деление описывают изменения количеств: объединение, удаление, образование равных групп и распределение.
Понимание количества пригодится при решении текстовых задач: в них нужно определить, что известно и как меняется совокупность. Оно также связано с измерением величин, когда считают, сколько единиц измерения укладывается в длину, массу или другой размер. При изучении дробей целое количество рассматривают как единое целое, разделённое на равные части.
Почему предметов не становится больше, если раздвинуть их в ряд?
При раздвигании предметы занимают больше места, но новые предметы не появляются и никакие не исчезают. Поэтому количество остаётся прежним. Изменяется длина ряда, а не число предметов.
Как сравнить количества, если предметы имеют разный размер?
Сопоставь предметы попарно, не сравнивая их размеры. Если каждому предмету одной совокупности нашлась пара в другой и предметов не осталось, количества равны. Если в одной совокупности остались непарные предметы, в ней их больше.
Почему последнее произнесённое при пересчёте число показывает всё количество?
При правильном пересчёте каждому предмету соответствует ровно одно числовое слово, произнесённое по порядку. Последнее слово указывает, сколько предметов уже было посчитано. Поэтому оно обозначает количество всей совокупности.
Можно ли узнать, что количеств поровну, не пересчитывая предметы?
Да, можно сопоставить предметы двух совокупностей попарно. Если каждому предмету одной совокупности соответствует один предмет другой и непарных предметов не осталось, количества поровну. Считать предметы по одному для этого не обязательно.
Чем количество отличается от числа?
Количество — то, сколько предметов есть в совокупности. Число — слово или знак, которым записывают установленное количество. Например, для семи карандашей количество можно записать числом 7.
Количество
