"Математика", Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В.
Часть числа — это одна или несколько равных долей целого. Чтобы найти одну n-ю долю, целое делят на n; чтобы найти m/n числа, результат умножают на m. То же вычисление можно записать как умножение числа на дробь. Этот способ помогает решать задачи о долях величин и количествах, а проверка по смыслу и единицам измерения показывает, подходит ли ответ к условию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Часть числа — величина, полученная при разделении целого на равные доли и выборе некоторого количества таких долей. Например, если целое разделить на пять одинаковых долей и взять две, получится две пятых. Это понятие помогает описывать, какую долю количества или измеряемой величины составляют выбранные части.
Дробь — запись отношения выбранной части к целому; в записи m/n число m стоит сверху, а n — снизу. Знаменатель сообщает, на сколько равных долей разделено целое, а числитель — сколько долей выбрано. Такая запись позволяет коротко обозначить часть и вычислить её значение, даже если долей много.
Знаменатель — число, показывающее, на сколько равных частей разделили целое. В дроби 3/8 знаменатель равен 8, значит, целое мысленно делят на восемь одинаковых долей. Знать знаменатель нужно, чтобы определить размер одной доли и выбрать правильное действие.
Числитель — число, показывающее, сколько равных частей взяли. В дроби 3/8 числитель равен 3, поэтому после нахождения одной восьмой берут три такие доли. Числитель помогает понять, сколько раз нужно взять размер одной доли.
Чтобы найти одну n-ю часть числа, целое делят на n. Причина в том, что равные доли вместе должны составить всё целое: если долей n, то каждая из них в n раз меньше целого. Например, одна пятая от 35 кг равна 35 : 5 = 7 кг; пять долей по 7 кг снова дают 35 кг.
Чтобы найти m/n числа, сначала находят одну долю, а затем берут m таких долей. Деление на n находит размер одной доли, а умножение на m показывает, сколько долей требуется по условию. Например, для 3/8 от 48 сначала вычисляют 48 : 8 = 6, а затем 6 · 3 = 18.
Общий способ можно записать как умножение числа на дробь: a · m/n. Эта запись означает то же, что (a : n) · m, потому что дробь указывает, какую часть целого нужно взять. Если деление на знаменатель даёт неудобное число, иногда проще сначала умножить целое на числитель, а затем разделить на знаменатель.
Вычисление зависит от величины целого и выбранной единицы измерения. Если целое измерено в килограммах, его доли тоже выражаются в килограммах; количество предметов при делении на равные группы считают в штуках. Перед вычислением полезно уточнить, что именно принято за целое: например, в задаче о маршруте целым является весь маршрут, а не уже пройденная часть.
Проверять результат нужно не только вычислением, но и сравнением с условием. Если дробь меньше единицы, найденная часть должна быть меньше целого; если дробь больше единицы — больше. Единица измерения должна соответствовать величине, а найденное число — отвечать на вопрос задачи: для оставшегося пути, например, одной пройденной части недостаточно, её ещё нужно вычесть из всего пути.
| Что требуется найти | Действие | Буквенная запись | Смысл действия |
|---|---|---|---|
| Одну n-ю часть числа a | Разделить a на n | a : n | Разделить целое на n равных долей |
| m/n числа a | Разделить a на n и умножить результат на m | (a : n) · m | Взять m одинаковых долей |
| m/n числа a другим способом | Умножить a на дробь m/n | a · m/n | Найти указанную дробью часть целого |
Сначала определи, сколько равных долей задаёт знаменатель, а затем — сколько из них нужно взять по числителю. Для одной доли достаточно деления, для нескольких после деления выполняют умножение. Две записи для нахождения m/n числа дают одинаковый результат.
Здесь целое — 35 кг, а требуется одна из пяти равных частей. Значит, нужно разделить всю величину на знаменатель 5. В ответе сохраняем килограммы, поскольку делили величину, измеренную в килограммах.
Ответ: 7 кг.
Целое здесь — все 48 карандашей, а раздать нужно три восьмых этого количества. Сначала узнаем, сколько карандашей приходится на одну восьмую, разделив общее количество на 8. Затем возьмём три такие доли, как показывает числитель.
Ответ: раздали 18 карандашей.
Вопрос не о пройденной части, а о том, сколько осталось. Поэтому сначала вычисляем 5/12 всего маршрута длиной 36 км, а затем вычитаем найденное расстояние из 36 км. Обе величины измеряются в километрах, значит, их можно вычитать.
Ответ: велосипедисту осталось проехать 21 км.
Иногда число делят на числитель вместо знаменателя. Так путают количество долей с числом выбранных долей: именно знаменатель показывает, на сколько частей разделено целое. Проверь себя: для 3/8 сначала нужно получить одну восьмую, значит, делить следует на 8.
Другая ошибка — умножить число только на знаменатель или только на числитель, не связывая вычисление со смыслом дроби. Действия по отдельности не отражают одновременно размер одной доли и количество взятых долей. Запиши два шага: раздели целое на знаменатель, затем умножь результат на числитель.
Можно найти одну долю и забыть умножить её на числитель, если требуется несколько долей. Это происходит, когда останавливаются после первого действия и не возвращаются к вопросу задачи. Сверь число выбранных долей с числителем: для 3/8 после вычисления одной восьмой нужно взять три таких значения.
Неуказанная единица измерения или результат, противоречащий условию, тоже делают ответ неверным. Например, длину маршрута нельзя записать в килограммах, а часть меньше целого не должна оказаться больше него. При проверке подпиши единицу и сравни результат с целым, учитывая, меньше или больше единицы сама дробь.
Для вычисления части нужны навыки деления и умножения натуральных чисел, понимание дроби, числителя и знаменателя, а также умение пользоваться единицами измерения. Вычисление одной доли связано с делением величины на равные части: это частный случай такого деления, когда выбирают только одну долю. Позже тот же смысл дроби пригодится в задачах на нахождение целого по его части, проценты, отношения и дробные выражения.
Почему число делят именно на знаменатель?
Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделили целое. Поэтому значение одной доли получают делением целого на знаменатель.
Можно ли сначала умножить на числитель, а потом разделить на знаменатель?
Да, если вычисления выполняются точно: a · m : n даёт то же значение, что a : n · m. Иногда удобнее сначала разделить на n, чтобы не получать слишком большое промежуточное число.
Как найти часть числа, если дробь больше единицы?
Действуют по тому же правилу: число умножают на дробь, то есть делят на знаменатель и умножают на числитель. Такая часть больше целого, потому что числитель дроби больше знаменателя.
Как понять, что найденная часть имеет правильную единицу измерения?
У части должна быть та же единица, что и у целого: например, от килограммов получаются килограммы, а от километров — километры. Если в задаче считают предметы, ответом будет количество предметов.
Чем вычисление части отличается от нахождения целого по его части?
При вычислении части целое известно, а нужно найти его долю: целое делят на знаменатель и умножают на числитель. При нахождении целого известна доля, и по ней восстанавливают все равные доли.
Вычисление части
