"Математика (для обучающихся с интеллектуальными нарушениями) *", Перова М.Н., Капустина Г.М.
При сложении и вычитании чисел до 1000 иногда не хватает места в одном разряде: тогда десяток переносят к десяткам, а при вычитании разменяют десяток на единицы или сотню на десятки. Такие действия называют переходом через разряд. Чтобы считать без ошибок, числа записывают столбиком по разрядам и действуют справа налево: сначала с единицами, затем с десятками и сотнями. Результат можно проверить обратным действием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разряд — место цифры в записи числа: единицы, десятки, сотни. Например, в числе 352 цифра 2 показывает единицы, 5 — десятки, 3 — сотни. Разряды помогают понять, сколько единиц каждого вида содержится в числе. Благодаря этому числа можно удобно записывать и складывать или вычитать по частям.
Переход через разряд — перенос одной десятки в разряд десятков или одной сотни в разряд сотен при сложении, а при вычитании — размен одной десятки или сотни. Например, 10 единиц можно заменить одной десяткой, а 10 десятков — одной сотней. Это нужно, когда в разряде не помещается полученное количество или не хватает единиц для вычитания. Размен и перенос сохраняют значение числа.
Сложение с переходом через разряд — сложение, при котором сумма цифр одного разряда равна 10 или больше и часть результата переносится в следующий разряд. Например, если при сложении единиц получилось 15, записывают 5 единиц, а 1 десяток переносят к десяткам. Так удаётся правильно записать сумму, не оставляя в разряде единиц больше девяти. Перенос учитывают при следующем действии.
Вычитание с переходом через разряд — вычитание, при котором для действия в одном разряде нужно разменять единицу следующего разряда. Например, если из 2 единиц нельзя вычесть 7 единиц, один десяток заменяют десятью единицами. Тогда вычитание становится возможным, но десятков в числе становится на один меньше. Этот способ помогает выполнить действие, сохранив значение уменьшаемого.
При письменных вычислениях числа записывают столбиком так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками, а сотни под сотнями. Это важно, потому что цифра в каждом месте обозначает разное количество: например, 4 единицы — не то же самое, что 4 десятка. Если цифры расположить неровно, можно сложить или вычесть величины разных разрядов. Поэтому перед вычислением полезно проверить выравнивание чисел.
Сложение начинают с единиц, потому что перенос из этого разряда может изменить число десятков. Если сумма единиц меньше 10, её записывают целиком внизу под разрядом единиц. Если сумма равна 10 или больше, внизу записывают только количество единиц, а десяток переносят к десяткам. Например, при сумме 14 записывают 4, а 1 десяток добавляют к следующему разряду.
Затем складывают десятки и прибавляют к ним перенесённый десяток, если он есть. Если и здесь получается 10 или больше десятков, одну сотню переносят к сотням, а в разряде десятков записывают оставшиеся десятки. После этого складывают сотни, не забывая о переносе, если он возник. Такой порядок не позволяет потерять часть суммы.
При вычитании единиц сначала сравнивают цифры в этом разряде. Если цифра уменьшаемого не меньше цифры вычитаемого, вычитание выполняют сразу. Если её недостаточно, одну десятку разменивают на 10 единиц: число единиц увеличивается на 10, а число десятков уменьшается на 1. После этого единиц хватает для вычитания.
Десятки вычитают с учётом размена: если десяток уже использовали для единиц, десятков в уменьшаемом стало на один меньше. Если десятков не хватает, разменивают одну сотню на 10 десятков, а при необходимости размен продолжают через разряд сотен. После вычисления результат проверяют обратным действием: к разности прибавляют вычитаемое. Если получилось уменьшаемое, вычитание выполнено правильно.
В таблице действия расположены по разрядам: двигайся слева направо по строке и проверяй, что нужно сделать с единицами, десятками и сотнями. Последний столбец напоминает, на что обратить внимание после вычисления. При размене или переносе обязательно учитывай, как изменился соседний разряд.
| Вид действия | Действия с единицами | Действия с десятками | Действия с сотнями | Что проверить |
|---|---|---|---|---|
| Сложение без переноса | Сложить единицы и записать результат | Сложить десятки и записать результат | Сложить сотни и записать результат | Разряды записаны друг под другом |
| Сложение с переходом из единиц в десятки | Сложить единицы, записать единицы результата и перенести десяток | Сложить десятки с учётом переноса | Сложить сотни | Перенос отмечен и учтён |
| Вычитание с разменом десятка | Разменять одну десятку на 10 единиц и выполнить вычитание единиц | Уменьшить число десятков на 1 и выполнить вычитание | Сотни не изменяются, если перехода через них нет | Размен выполнен только один раз и записан |
| Вычитание с разменом сотни | При необходимости разменять сотню на 10 десятков, затем десяток на 10 единиц | Учесть уменьшение разряда после размена | Выполнить вычитание сотен после размена | Ответ проверить сложением или обратным вычитанием |
Это сложение без перехода через разряд: в каждом разряде сумма меньше 10. Запишем числа столбиком, совместив единицы, десятки и сотни. Считаем справа налево, чтобы при необходимости сразу заметить перенос. В конце оценим результат: он должен быть больше каждого слагаемого.
Ответ: 377.
В первом примере сумма единиц будет больше 9, поэтому понадобится перенос. Во втором примере единиц не хватит для вычитания, а затем нужно будет проверить, хватает ли десятков. Удобно решать каждое действие по разрядам, следя за изменениями соседнего разряда. Проверка обратным действием поможет обнаружить ошибку.
Ответ: 368 + 257 = 625; 742 − 368 = 374.
Сначала книг стало больше, потому что их привезли, поэтому выполняем сложение. Потом часть книг выдали, значит, получившееся количество нужно уменьшить вычитанием. Нельзя сразу вычитать 259 из 486: привезённые книги тоже остались в библиотеке и входят в общее количество. Составим выражение, которое отражает оба изменения по порядку.
Ответ: в библиотеке осталось 405 книг.
Если единицы поставить под десятками, вычисление пойдёт не по разрядам. Такое случается, когда числа записывают невнимательно или не проверяют столбик перед счётом. Проверь, стоят ли цифры одного разряда строго одна под другой. Можно подписать разряды над числами, пока эта проверка не станет привычной.
При сложении можно получить 10 или больше, записать всю сумму в одном разряде и забыть о переносе. Бывает и обратная ошибка: перенесённый десяток учитывают дважды. Причина обычно в том, что действие выполняют быстро и не отмечают перенос. Сверь записанную цифру единиц с суммой и проверь, прибавлен ли перенос ровно один раз.
При вычитании иногда пытаются вычесть меньшую цифру из большей, не разменяв соседний разряд. Тогда получается неверная разность, потому что исходное количество единиц изменилось бы без изменения десятков. Остановись и сравни цифры уменьшаемого и вычитаемого в нужном разряде. Если единиц недостаточно, выполни размен и проверь, что к единицам прибавилось 10.
После размена легко забыть уменьшить соседний разряд на единицу или ошибиться при учёте переноса в сложении. Это происходит, когда размен или перенос не отмечен и вычисления ведутся только в уме. Записывай маленькую цифру переноса или размена рядом с нужным разрядом. После решения пересчитай действие в этом разряде и проверь ответ обратным действием.
Перед вычислениями полезно знать состав числа из сотен, десятков и единиц, нумерацию чисел до 1000 и таблицу сложения и вычитания в пределах 20. Эти знания помогают понимать, что именно переносится или разменивается. Приёмы пригодятся в текстовых задачах в два и более действий, при нахождении периметра и денежных расчётах. Позже такой же порядок действий используют при сложении и вычитании многозначных чисел.
Почему числа при вычислении нужно записывать именно столбиком?
При записи столбиком единицы оказываются под единицами, десятки — под десятками, а сотни — под сотнями. Так цифры одного разряда не смешиваются, и перенос или размен легко выполнить в нужном месте.
Куда переносить десяток, если при сложении единиц получилось больше 9?
В разряде единиц записывают только единицы полученной суммы. Один десяток переносят к десяткам и прибавляют при сложении этого разряда.
Что делать, если из единиц уменьшаемого нельзя вычесть единицы вычитаемого?
Нужно разменять одну десятку на 10 единиц. К единицам прибавляют 10, а число десятков уменьшают на 1, после чего выполняют вычитание.
Как выполнить вычитание, если в соседнем разряде стоит ноль?
Нужно найти ближайший разряд слева, в котором есть ненулевая цифра, и разменять одну его единицу. При размене через нулевой разряд в нём появляется 9 десятков или единиц, а исходный разряд уменьшается на 1. Например, в числе 302 для вычитания единиц сначала разменяют 1 сотню на 10 десятков, а затем 1 десяток на 10 единиц.
Как проверить сложение или вычитание?
Сложение проверяют вычитанием: из суммы вычитают одно слагаемое и получают другое. Вычитание проверяют сложением разности и вычитаемого: должно получиться уменьшаемое.
Сложение и вычитание в пределах 1000 с переходом через разряд
