Кратное сравнение чисел

Определения и обозначения

Кратное сравнение чисел — сравнение, которое показывает, во сколько раз одно число больше или меньше другого. Для него числа не вычитают, а делят. Это понятие помогает отличить вопрос о количестве одинаковых групп от вопроса о разнице между числами.

Частное чисел — результат деления; при кратном сравнении оно показывает, во сколько раз одно число содержится в другом. Например, в записи 12 : 3 = 4 число 4 — частное. Оно нужно, чтобы выразить отношение чисел одним числом.

Вопрос «во сколько раз больше» означает: сколько раз меньшее число содержится в большем. Чтобы ответить, большее число делят на меньшее. Так можно узнать, например, во сколько раз в одной коробке предметов больше, чем в другой.

Вопрос «во сколько раз меньше» тоже требует узнать, сколько раз меньшее число содержится в большем. Поэтому большее число делят на меньшее, но в ответе называют, какое именно число меньше. Это помогает не перепутать числа, даже если вычисление такое же.

Как это устроено

При кратном сравнении числа не вычитают, а делят, потому что нужно узнать, сколько раз одна величина укладывается в другой. Вычитание показало бы остаток после того, как от большего числа убрали меньшее один раз. Деление же отвечает на вопрос о числе таких одинаковых частей. Поэтому сначала внимательно прочитай, о чём спрашивают: о разнице или о количестве раз.

Чтобы узнать, во сколько раз большее число больше меньшего, большее число делят на меньшее. Делитель показывает размер одной части, а делимое — всё количество, которое нужно разделить на такие части. Например, если есть 12 предметов и их раскладывают по 3, частное покажет, сколько получится групп. Такой смысл деления помогает выбрать порядок чисел.

Чтобы узнать, во сколько раз меньшее число меньше большего, выполняют то же деление: большее делят на меньшее. Причина в том, что нужно найти, сколько раз меньшее число содержится в большем, независимо от того, какое слово стоит в вопросе. Меняется не вычисление, а формулировка ответа. Назови в ответе именно то число, о котором спрашивали как о меньшем.

Рассмотрим числа 12 и 3. Делим 12 на 3 и получаем 4: число 3 содержится в числе 12 четыре раза. Поэтому 12 в четыре раза больше 3, а 3 в четыре раза меньше 12. Эти два высказывания описывают одни и те же числа с разных сторон.

Таким способом можно кратно сравнивать числа, когда большее делится на меньшее без остатка. Если при делении остаётся остаток, полученное частное не показывает целое число одинаковых частей, как требуется в таком сравнении. После вычисления проверь, подходит ли результат к условию задачи. Частное должно отвечать именно на вопрос «во сколько раз».

Как кратно сравнить два числа

Пользуйся таблицей так: сначала определи, какое число больше, и раздели его на меньшее. Затем прочитай вопрос ещё раз и составь ответ с нужным названием числа. Частное в обоих случаях означает одно и то же.

Разбор задач

Задача 1. В одной коробке 12 карандашей, а в другой — 3. Во сколько раз в первой коробке карандашей больше? Нужно сравнить количество карандашей не по разнице, а по числу одинаковых троек. Поэтому делим большее количество на меньшее.

1. Сравниваем количества: 12 больше 3.
2. Делим: 12 : 3 = 4.
3. Проверяем смысл: четыре раза по 3 карандаша составляют 12.

Ответ: в первой коробке карандашей в 4 раза больше. Здесь в ответе назвали коробку с большим количеством, потому что вопрос был о первой коробке.

Задача 2. Длина одной ленты 24 см, другой — 6 см. Во сколько раз короткая лента меньше длинной? Сначала определяем, какая лента длиннее: 24 см — большая длина, а 6 см — меньшая. Чтобы узнать число раз, делим длинную ленту на короткую.

1. Записываем числа: 24 см и 6 см.
2. Находим частное: 24 : 6 = 4.
3. Соотносим результат с вопросом: меньше длина 6 см, значит, её и называем в ответе.

Ответ: короткая лента в 4 раза меньше длинной. Частное равно 4, потому что четыре отрезка по 6 см составляют 24 см.

Задача 3. В большом пакете 35 конфет, в маленьком — 5. Во сколько раз в маленьком пакете конфет меньше, чем в большом, и как проверить ответ? Маленькое количество содержится в большом целое число раз, поэтому деление подходит. В ответе нужно сказать о маленьком пакете.

1. Находим большее и меньшее количества: 35 и 5.
2. Делим большее на меньшее: 35 : 5 = 7.
3. Проверяем умножением: 5 · 7 = 35, значит, деление верное.

Ответ: в маленьком пакете конфет в 7 раз меньше, чем в большом. Проверка показывает, что семь групп по 5 конфет дают 35 конфет.

Типичные ошибки

Иногда числа вычитают вместо того, чтобы делить. Так происходит, когда путают вопросы «на сколько больше» и «во сколько раз больше»: вычитание находит разницу, а не число раз. Проверь себя по словам в условии: для «на сколько» нужна разность, для «во сколько раз» — частное.

Другая ошибка — делить меньшее число на большее. Её допускают, если сразу записывают числа из условия, не выяснив, какое из них больше. При кратном сравнении первым в делении должно стоять большее число. Перед вычислением подпиши числа словами или сравни их величины.

Можно найти правильное частное, но перепутать, какое число больше или меньше. Вычисление при вопросах «во сколько раз больше» и «во сколько раз меньше» одно и то же, поэтому легко не заметить, что изменился смысл ответа. Прочитай вопрос ещё раз и назови в ответе нужное число. Например, при сравнении 12 и 3 число 3 меньше, а 12 больше.

Не оставляй частное без пояснения и не называй его разностью. Такое случается, когда записывают только пример и забывают, что результат должен ответить на вопрос задачи. Проверь, есть ли в ответе слова «в … раз» и указаны ли сравниваемые величины. Если решение требует найти разницу, частное не подойдёт.

Связь с другими темами

Для кратного сравнения нужно уметь делить натуральные числа и определять, какое из двух чисел больше. Если трудно выбрать порядок деления, сначала сравни числа по величине. Это знание помогает избежать деления меньшего на большее.

Тема связана с умножением: деление можно проверить умножением. Меньшее число, умноженное на частное, должно дать большее. Такая проверка помогает заметить ошибку в вычислении.

Кратное сравнение пригодится в задачах о предметах, ценах, расстояниях и других величинах. Например, можно выяснить, во сколько раз один путь длиннее другого или одна покупка дороже другой. Важно, чтобы сравниваемые величины были выражены в одинаковых единицах.

Что запомнить

• Кратное сравнение выполняют делением.
• Большее число делят на меньшее.
• Частное показывает, во сколько раз числа отличаются.
• При вопросе «во сколько раз больше» в ответе называют большее число.
• При вопросе «во сколько раз меньше» в ответе называют меньшее число.
• Деление можно проверить умножением.