Кратное сравнение чисел

Определения и обозначения

Кратное сравнение чисел — сравнение, которое показывает, во сколько раз одно число больше или меньше другого. Оно нужно, когда важно узнать не разницу количеств, а их отношение друг к другу. Например, так можно сравнить число книг на двух полках.

Частное — результат деления одного числа на другое. При кратном сравнении частное показывает, сколько раз меньшее число содержится в большем. Поэтому по частному можно сформулировать ответ на вопрос «во сколько раз?».

Кратное отношение чисел — частное от деления большего числа на меньшее. Например, для чисел 20 и 5 кратное отношение равно 20 : 5 = 4. Это означает, что одно число больше другого в 4 раза.

Фразы «в несколько раз больше» и «в несколько раз меньше» обозначают результат кратного сравнения. Если 24 : 6 = 4, то 24 больше 6 в 4 раза, а 6 меньше 24 в 4 раза. Предлог «в» показывает, что речь идёт о делении.

Как это устроено

При кратном сравнении используют деление, потому что деление показывает, сколько раз одно число помещается в другом. Вычитание даёт только разницу между числами в единицах. Например, 12 − 3 = 9 сообщает, что числа отличаются на 9, а 12 : 3 = 4 показывает, что 12 содержит четыре тройки.

Сначала нужно определить, какое число больше, а какое меньше. Большее число делят на меньшее, потому что мы узнаём, сколько одинаковых частей меньшего размера составляют большее число. Например, в выражении 35 : 7 = 5 число 35 — делимое, 7 — делитель, а 5 — частное.

Полученное частное помогает составить два связанных ответа. Если 18 : 3 = 6, то можно сказать: «18 больше 3 в 6 раз». В обратной формулировке получится: «3 меньше 18 в 6 раз», потому что сравниваются те же самые числа и используется то же частное.

Кратное сравнение отличается от разностного вопросом и действием. На вопрос «на сколько больше?» отвечают вычитанием, например 18 − 3 = 15. На вопрос «во сколько раз больше?» отвечают делением, поэтому результатом будет 18 : 3 = 6, а не 15.

Проверить кратное сравнение можно умножением. Нужно умножить меньшее число на полученное частное: 3 · 6 = 18. Если получилось большее число, деление и формулировка ответа согласуются друг с другом.

Кратное сравнение чисел

Пользуйся таблицей после того, как определишь большее и меньшее числа. Для обоих вопросов о том, «во сколько раз», выполняется одно деление: большее число делится на меньшее. Для проверки используй последнюю строку: умножение должно вернуть большее число.

Разбор задач

Задача 1

Сравним числа 18 и 3 кратно. Нужно узнать, во сколько раз 18 больше 3 и во сколько раз 3 меньше 18. В обоих вопросах участвуют одни и те же числа, поэтому сначала найдём одно общее частное.

1. Определяем большее число: это 18, меньшее число — 3.
2. Делим большее число на меньшее: 18 : 3 = 6.
3. Формулируем два ответа с предлогом «в»: 18 больше 3 в 6 раз, а 3 меньше 18 в 6 раз.

Ответ: 18 больше 3 в 6 раз; 3 меньше 18 в 6 раз.

Задача 2

В одной коробке 24 карандаша, а в другой 6 карандашей. Требуется узнать, во сколько раз в первой коробке карандашей больше. Величины одинаковые — карандаши, поэтому переводить единицы не нужно.

1. Выделяем сравниваемые количества: 24 карандаша и 6 карандашей.
2. Находим большее количество и делим его на меньшее: 24 : 6 = 4.
3. Объясняем частное: в первой коробке карандашей в 4 раза больше, чем во второй.

Ответ: в первой коробке карандашей в 4 раза больше.

Задача 3

Одна лента в 5 раз длиннее другой, а короткая лента имеет длину 7 см. Нужно найти длину длинной ленты. Здесь неизвестно большее число, зато известно, во сколько раз оно больше, поэтому применяем умножение.

1. Длина длинной ленты равна длине короткой ленты, умноженной на 5: 7 · 5 = 35 см.
2. Проверяем результат кратным сравнением: 35 : 7 = 5.
3. Частное 5 подтверждает, что длинная лента действительно в 5 раз длиннее короткой.

Ответ: длина длинной ленты — 35 см. Проверка: 35 : 7 = 5.

Типичные ошибки

Вычитание вместо деления. Ученик видит два числа и сразу находит разность, хотя вопрос начинается со слов «во сколько раз». Чтобы проверить себя, найди главное слово вопроса: «на сколько» требует вычитания, а «во сколько раз» — деления.

Неправильный порядок деления. Если разделить меньшее число на большее, получится обратное отношение или дробное частное. Сначала подчеркни большее число, затем поставь его первым в делении.

Неверная формулировка ответа. Фраза «больше на 4 раза» смешивает два разных способа сравнения. При кратном сравнении нужно говорить «больше в 4 раза» или «меньше в 4 раза».

Разные единицы измерения. Нельзя напрямую сравнивать, например, 2 м и 50 см делением этих чисел. Переведи величины в одни единицы: 2 м = 200 см, затем выполни сравнение 200 : 50.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать таблицу умножения и деления, смысл частного, сравнение чисел и единицы измерения величин. Эти знания помогают быстро выбрать действие и не ошибиться в вычислениях. Особенно важно уметь переводить величины в одинаковые единицы.

Кратное сравнение встречается в текстовых задачах на отношения, масштаб, скорость, стоимость и производительность. Оно помогает понять, во сколько раз изменяется величина или одна величина отличается от другой. Поэтому навык нужен не только на уроках математики.

Кратное сравнение связано с нахождением неизвестного множителя. Если известно, что одно число в несколько раз больше другого, неизвестное находят умножением, а затем проверяют делением.

Что запомнить

• Кратное сравнение отвечает на вопрос «во сколько раз?».
• Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше другого, большее число делят на меньшее.
• При кратном сравнении получают частное.
• В ответе говорят «в несколько раз», а не «на несколько раз».
• Разностное сравнение выполняют вычитанием, а кратное — делением.
• Результат можно проверить умножением меньшего числа на частное.
• Сравнивать величины нужно в одинаковых единицах измерения.